Mostre que uma onda plana uniforme com polarização arbitrária pode ser criada a partir da superposição de duas ondas, uma com polarização circular direita e outra com polarização circular esquerda.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que qualquer onda plana uniforme de polarização arbitrária, digamos com vetor de campo elétrico \mathbf{E}(z,t) propagando ao longo de z, pode ser obtida somando-se uma onda de polarização circular direita (CD) e outra de polarização circular esquerda (CE). O conteúdo usado é decomposição de vetores em bases complexas e relações entre bases cartesianas e circulares.

Passo 2

Começamos escrevendo a polarização arbitrária no plano xy na forma complexa
\mathbf{E}(z,t)=\Re\bigl\{\bigl(E_x\,\hat x + E_y\,\hat y\bigr)e^{i(kz-\omega t)}\bigr\},
onde E_x e E_y são amplitudes complexas que determinam a direção e fase da polarização.

Passo 3

Definimos as bases de polarização circular direita e esquerda como
\hat e_R = \frac{1}{\sqrt2}\bigl(\hat x + i\,\hat y\bigr), \qquad \hat e_L = \frac{1}{\sqrt2}\bigl(\hat x - i\,\hat y\bigr).
Por construção, \hat e_R e \hat e_L são mútuamente ortogonais e normalizadas.

Passo 4

Para decompor \hat x e \hat y nessa base, invertemos as definições:
\hat x = \frac{1}{\sqrt2}\bigl(\hat e_R + \hat e_L\bigr), \qquad \hat y = \frac{-i}{\sqrt2}\bigl(\hat e_R - \hat e_L\bigr).

Passo 5

Substituindo essas expressões em \mathbf{E} obtemos
E_x\,\hat x + E_y\,\hat y = E_x\frac{\hat e_R+\hat e_L}{\sqrt2} + E_y\frac{-i(\hat e_R-\hat e_L)}{\sqrt2} = A_R\,\hat e_R + A_L\,\hat e_L,
onde as amplitudes circulares são
A_R = \frac{E_x - i\,E_y}{\sqrt2}, \qquad A_L = \frac{E_x + i\,E_y}{\sqrt2}.

Passo 6

Logo a onda plana com polarização genérica pode ser escrita como
\mathbf{E}(z,t) = \Re\bigl\{[\,A_R\,\hat e_R + A_L\,\hat e_L\,]\,e^{i(kz-\omega t)}\bigr\},
ou seja, superposição de uma componente circular direita de amplitude A_R e de uma componente circular esquerda de amplitude A_L.

Resposta

Uma onda plana arbitrariamente polarizada pode ser obtida por
\mathbf{E}(z,t) = \Re\bigl\{A_R\,\hat e_R\,e^{i(kz-\omega t)}\bigr\} + \Re\bigl\{A_L\,\hat e_L\,e^{i(kz-\omega t)}\bigr\},
com
\hat e_R = \tfrac{1}{\sqrt2}(\hat x + i\hat y), \quad \hat e_L = \tfrac{1}{\sqrt2}(\hat x - i\hat y),
A_R = \tfrac{E_x - iE_y}{\sqrt2}, \quad A_L = \tfrac{E_x + iE_y}{\sqrt2}.

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