(Prova 2025.1) Uma onda plana com polarização circular e frequência angular \omega propaga ao longo do eixo z, com |\vec{E}|=1 V / m, em um meio com índice de refração n=a+b \mathrm{j} e impedância Z=|Z| e^{j \theta z}. Neste contexto, determine:
a. O vetor campo elétrico na notação fasorial ( 0,3 pontos) e temporal ( 0,3 pontos) sabendo que em \mathrm{z}=0 e \mathrm{t}=0, o campo elétrico só tem componente Ex.
b. O vetor campo magnético na notação fasorial ( 0,3 pontos) e temporal ( 0,3 pontos).
c. O vetor de Poynting médio. ( 0,8 pontos) Obs.: Podem escolher entre circular horário ou anti-horário.

Passo 1

O enunciado apresenta uma onda plana de polarização circular de magnitude 1\;\mathrm{V/m} que se propaga ao longo do eixo z num meio com índice de refração
n = a + b\,j
e impedância intrínseca
Z = |Z|\,e^{j\theta_z}.
Precisamos determinar:
a. \vec{E} em notação fasorial e temporal (sabendo que em z=0, t=0 só há componente E_x);
b. \vec{H} em notação fasorial e temporal;
c. o vetor de Poynting médio \langle\vec{S}\rangle.
Para isso, usaremos as definições de constante de propagação \gamma, a relação \tilde{\vec{H}}=(1/Z)\,\hat{z}\times\tilde{\vec{E}} e
\langle \vec{S}\rangle = \tfrac12\Re\{\tilde{\vec{E}}\times\tilde{\vec{H}}^*\}.

Passo 2

A constante de propagação \gamma no meio é
\gamma = j\frac{\omega n}{c} = j\,k_0\,(a + j b) = -\,k_0\,b + j\,k_0\,a = \alpha + j\,\beta,
onde
k_0 = \frac{\omega}{c},\quad \alpha = k_0\,b\quad(\text{atenuação}),\quad \beta = k_0\,a\quad(\text{fase}).çã
Assim, os campos variam como e^{-\gamma z}=e^{-\alpha z}e^{-j\beta z}.

Passo 3

Para garantir polarização circular e \vec{E}(0,0) apenas em x, escolhemos, por exemplo, circular direita, com fasor
\tilde{\vec{E}}(z) = E_0\,(\hat{x}-j\hat{y})\,e^{-\gamma z},\quad E_0=1.
No domínio do tempo:
\vec{E}(z,t) = \Re\{\tilde{\vec{E}}\,e^{j\omega t}\} = e^{-\alpha z}\bigl[\hat{x}\cos(\omega t - \beta z) +\hat{y}\sin(\omega t - \beta z)\bigr].

Passo 4

O fasor do campo magnético vem de
\tilde{\vec{H}}(z) =\frac{1}{Z}\,\hat{z}\times\tilde{\vec{E}}(z).
Como \hat{z}\times(\hat{x}-j\hat{y})=\hat{y}+j\hat{x}, surge
\tilde{\vec{H}}(z) =\frac{E_0}{|Z|}\,e^{-j\theta_z}\,(\hat{y}+j\hat{x})\,e^{-\gamma z}.
Em domínio temporal:
\vec{H}(z,t) =\Re\{\tilde{\vec{H}}\,e^{j\omega t}\} =\frac{E_0\,e^{-\alpha z}}{|Z|} \Bigl[-\hat{x}\,\sin(\omega t - \beta z - \theta_z) +\hat{y}\,\cos(\omega t - \beta z - \theta_z)\Bigr].

Passo 5

O vetor de Poynting médio é
\langle \vec{S}\rangle =\frac12\Re\{\tilde{\vec{E}}\times\tilde{\vec{H}}^*\}.
Como \tilde{\vec{H}}^*=\tfrac{E_0}{|Z|}e^{j\theta_z}(\hat{y}-j\hat{x})e^{-\gamma^* z} e \gamma^*=\alpha-j\beta, obtemos
\langle \vec{S}\rangle =\hat{z}\,\frac{E_0^2}{2\,|Z|}\,e^{-2\alpha z}.

Resposta

a. Fasor do campo elétrico:
\tilde{\vec{E}}(z)=(\hat{x}-j\hat{y})\,e^{-\gamma z}, \quad E_0=1.
No tempo:
\vec{E}(z,t)=e^{-\alpha z}\bigl[\hat{x}\cos(\omega t-\beta z) +\hat{y}\sin(\omega t-\beta z)\bigr].
b. Fasor do campo magnético:
\tilde{\vec{H}}(z) =\frac{1}{|Z|}e^{-j\theta_z}(\hat{y}+j\hat{x})\,e^{-\gamma z}.
No tempo:
\vec{H}(z,t) =\frac{e^{-\alpha z}}{|Z|} \Bigl[-\hat{x}\sin(\omega t-\beta z-\theta_z) +\hat{y}\cos(\omega t-\beta z-\theta_z)\Bigr].
c. Vetor de Poynting médio:
\langle \vec{S}\rangle =\hat{z}\,\frac{1}{2\,|Z|}\,e^{-2\alpha z}.

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