A partir da equação \mathbf{E}(z, t)=E_{0} e^{-\alpha z} \cos (\omega t-\beta z) \hat{x} e em conjunto com as equações de Maxwell, derive que
a. \quad \eta=\frac{j \omega \mu}{\gamma}.
b. A partir de b. encontre que H_{0}=\frac{E_{0}}{\eta} e que \eta=\sqrt{\frac{j \omega \mu}{\sigma+j \omega \epsilon}}

Passo 1

O enunciado descreve uma onda plana que se propaga na direção z em um meio condutor, com campo elétrico no tempo dado por
\mathbf{E}(z,t)=E_{0}\,e^{-\alpha z}\cos\bigl(\omega t-\beta z\bigr)\,\hat{x}.
Queremos, usando as equações de Maxwell, achar a impedância intrínseca do meio \eta e a relação entre as amplitudes E_{0} e H_{0}. Para isso vamos trabalhar no domínio dos fasores e usar
\gamma=\alpha+j\beta
como a constante de propagação complexa.

Passo 2

Escrevemos o fasor do campo elétrico como
\tilde{\mathbf{E}}(z)=E_{0}\,e^{-\gamma z}\,\hat{x},
de modo que no domínio dos fasores a equação de Maxwell–Faraday é
\nabla\times\tilde{\mathbf{E}}=-\,j\omega\mu\,\tilde{\mathbf{H}}.
Para uma onda que varia só em z e cujo \tilde{\mathbf{E}} está em \hat{x}, o rotacional fica
\nabla\times\tilde{\mathbf{E}} =\frac{\partial}{\partial z}\bigl(E_{0}e^{-\gamma z}\bigr)\,\bigl(\hat{x}\times\hat{z}\bigr) =-\gamma E_{0}e^{-\gamma z}\,(\hat{x}\times\hat{z}) =\gamma E_{0}e^{-\gamma z}\,\hat{y}.

Passo 3

Substituindo em \nabla\times\tilde{\mathbf{E}}=-j\omega\mu\,\tilde{\mathbf{H}}, obtemos
\gamma E_{0}e^{-\gamma z}\,\hat{y} =-j\omega\mu\,\tilde{\mathbf{H}},
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\tilde{\mathbf{H}}(z) =-\frac{\gamma}{j\omega\mu}\,E_{0}e^{-\gamma z}\,\hat{y}.
Ignorando o sinal de fase (que apenas indica direção), a razão entre amplitudes fasoriais define a impedância intrínseca
\eta =\frac{\tilde{E}_{0}}{\tilde{H}_{0}} =\frac{j\omega\mu}{\gamma}.

Passo 4

Sabendo que em um meio com condutividade \sigma e permitividade \epsilon vale
\gamma=\sqrt{\,j\omega\mu\,\bigl(\sigma+j\omega\epsilon\bigr)\,},
temos
\eta =\frac{j\omega\mu}{\gamma} =\sqrt{\frac{j\omega\mu}{\sigma+j\omega\epsilon}}.
Além disso, da definição de \eta=\tilde{E}_{0}/\tilde{H}_{0} segue
H_{0}=\frac{E_{0}}{\eta}.

Resposta

a. \displaystyle \eta=\frac{j\omega\mu}{\gamma}.
b. \displaystyle H_{0}=\frac{E_{0}}{\eta} \quad\text{e}\quad \eta=\sqrt{\frac{j\omega\mu}{\sigma+j\omega\epsilon}}.

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