Derive uma expressão para a variação na energia de Gibbs para uma expansão isotérmica reversível de um gás com comportamento descrito pela equação P \bar{V}=R T+\alpha \bar{V}, onde \alpha é uma constante, de uma pressão inicial \mathrm{P}_{1} até uma pressão final \mathrm{P}_{2}.

Passo 1

O enunciado pede a variação de energia de Gibbs numa expansão isotérmica reversível de um gás cujas variáveis obedecem à equação de estado
P\,\bar V = R\,T + \alpha\,\bar V,
onde \alpha é constante.
Conteúdo: termodinâmica—energia de Gibbs e identidade de Gibbs. Vamos usar dG = V\,dP - S\,dT e isoterma dT=0 para obter \Delta G.

Passo 2

A identidade de Gibbs diz que
dG = \bar V\,dP - \bar S\,dT.
Como a expansão é isotérmica dT=0, fica
dG = \bar V\,dP.

Passo 3

Precisamos de \bar V como função de P. Da equação de estado
P\,\bar V = R\,T + \alpha\,\bar V
subtraímos \alpha\,\bar V de ambos os lados e fatoramos \bar V:
(P - \alpha)\,\bar V = R\,T \quad\Longrightarrow\quad \bar V = \frac{R\,T}{P - \alpha}.

Passo 4

Integramos dG = \bar V\,dP de P_1 até P_2:
\Delta G = \int_{P_1}^{P_2} \frac{R\,T}{P - \alpha}\,dP = R\,T \int_{P_1}^{P_2} \frac{dP}{P - \alpha} = R\,T \left[\ln\bigl(P - \alpha\bigr)\right]_{P_1}^{P_2}.
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\Delta G = R\,T \,\ln\frac{P_2 - \alpha}{P_1 - \alpha}.

Resposta

\Delta G = R\,T \,\ln\frac{P_2 - \alpha}{P_1 - \alpha}.

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