Derive f e encontre o domínio de f.
f(x)=ln ln ln x

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função f(x)=lnlnln x e também determinar seu domínio. O conteúdo envolvido é derivação de funções compostas (regra da cadeia) e análise de domínio de logaritmos.

Passo 2

Para encontrar o domínio de f(x)=lnlnln x, precisamos que cada argumento de ln seja positivo. Primeiro, ln x existe se x>0. Depois, ln(ln x) existe se ln x>0, ou seja, x>1. Por fim, ln(ln(ln x)) existe se ln(ln x)>0, isto é, ln x>1, ou seja, x>e. Logo, o domínio é (e,infty).

Passo 3

Começando a derivada, identifique f(x)=ln(v) com v=ln(ln x). Pela regra da cadeia,
f'(x)=ddx[ln v]=v'v,

Passo 4

agora calcule v'=ddx[ln(ln x)]. Defina u=ln x, então v=ln u e
v'=u'u=1/xln x=1x,ln x

Passo 5

Substituindo em f'(x)=v'/v resulta em
f'(x)=1ln(ln x)cdot1x,ln x=1x,ln x,lnln x

Resposta

f'(x)=1x,ln x,lnln x, Domínio: (e,infty)í

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