Se
, encontre
.
Passo 1
A questão define a função f(x)=ln(x+ln x). O conteúdo aqui é derivada de função composta (regra da cadeia) e derivada de ln(x).
Passo 2
Seja u(x)=x+ln x. Pela regra da cadeia, f’(x)=u’(x)/u(x). Calculando u’(x), temos u’(x)=1+1/x. Logo,
Passo 3
f’(x)=\frac{1+\tfrac1x}{x+\ln x}.
Passo 4
Para simplificar, note que 1+\tfrac1x=(x+1)/x, então f’(x)=(x+1)/[x(x+\ln x)]. Avaliando em x=1 (onde ln1=0) dá f’(1)=(1+1)/[1·(1+0)]=2.
Resposta
2