Derive a função.
y=log 2(x log 5 x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função y=log2l(xlog5xr). Esse problema envolve derivadas de logaritmos, a regra do produto, regra da cadeia e mudança de base de logaritmo.

Passo 2

Para facilitar, usamos a mudança de base: log2A = ln Aln2. Assim podemos escrever
y = lnl(xlog5xr)ln2

Passo 3

Agora vamos derivar. Como 1/ln2 é constante, pela regra da cadeia temos
y' = 1ln2cdotddxl[ln(xlog5x)r] = 1ln2cdot1xlog5xcdotddxl[xlog5xr]

Passo 4

Para encontrar ddx[xlog5x], usamos regra do produto: se u=x e v=log5x, então
ddx(uv)=u',v + u,v'
Como u'=1 e v'=ddx(ln x/ln5)=1xln5, obtemos
ddx[xlog5x]=log5x + xxln5 = log5x + 1ln5

Passo 5

Substituindo em y', ficamos com
y'=1ln2cdotlog5x + 1/ln5xlog5x
Como log5x=ln xln5, simplificamos:
y'=1ln2cdotln xln5+1ln5xln xln5 =1ln2cdotln x+1xln x =ln x+1xln xln2

Resposta

y'=ln x+1xln xln2

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