Derive.
f(x)=x e^2 xln (3 x+1).

Passo 1

Então, a questão pede para derivar a função f(x) = x e^2xln(3x + 1). A matéria aqui é cálculo diferencial, que é a parte da matemática que estuda como as funções mudam. Para resolver essa derivada, vamos precisar da regra do quociente, que é usada para derivar frações, e também da regra do produto, já que temos um produto na parte de cima da fração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função. Temos:
  • Numerador: u = x e^2x
  • Denominador: v = ln(3x + 1)
A regra do quociente nos diz que a derivada de uma fração f(x) = uv é dada por:
f'(x) = u'v - uv'v^2
Então, precisamos encontrar u' (a derivada do numerador) e v' (a derivada do denominador).

Passo 3

Vamos calcular u'. Para isso, usamos a regra do produto, já que u = x e^2x. A derivada do produto u = ab é:
u' = a'b + ab'
Aqui, temos a = x e b = e^2x. Agora, precisamos das derivadas de a e b:
  • a' = 1
  • Para b' = e^2x cdot 2 (usamos a regra da cadeia, já que a derivada de e^z é e^z cdot z', onde z = 2x e z' = 2)
Agora substituímos:
u' = 1 cdot e^2x + x cdot (2e^2x) = e^2x + 2xe^2x = e^2x(1 + 2x)

Passo 4

Agora vamos encontrar v'. Temos v = ln(3x + 1). A derivada de ln(z) é 1z cdot z', onde z = 3x + 1.
Aqui, temos que z' = 3, portanto:
v' = 13x + 1 cdot 3 = 33x + 1

Passo 5

Agora que temos u', u, v' e v, podemos aplicar a regra do quociente:
f'(x) = (e^2x(1 + 2x)) ln(3x + 1) - (x e^2x) ( 33x + 1 )(ln(3x + 1))^2
Agora, é só simplificar isso, mas para o nosso caso, vamos ficar com essa forma, pois a simplificação pode se tornar um pouco mais complexa e, para este exercício, a fórmula já é a resposta que procuramos.

Resposta

A derivada de f(x) é:
f'(x) = (e^2x(1 + 2x)) ln(3x + 1) - 3x e^2x3x + 1(ln(3x + 1))^2

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