Derive.
f(x)=x^3 e^-3 x.

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado pede para derivar a função f(x) = x^3 e^-3x. Estamos lidando com o conteúdo de cálculo, mais especificamente com a derivação de funções. Para resolver, você vai precisar aplicar a regra do produto, que é usada quando temos a multiplicação de duas funções. A regra do produto diz que se você tem duas funções u(x) e v(x), a derivada do produto delas é dada por u'v + uv'.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar u(x) e v(x) na nossa função f(x). Aqui, podemos definir:
  • u(x) = x^3
  • v(x) = e^-3x
Agora, precisamos encontrar as derivadas de u(x) e v(x).
Para u(x) = x^3, a derivada u'(x) é dada pela regra básica de derivação, que diz que a derivada de x^n é nx^n-1. Assim, temos:
u'(x) = 3x^2
Agora, vamos derivar v(x) = e^-3x. Para isso, usamos a regra da cadeia. A derivada de e^g(x) é e^g(x) cdot g'(x). Aqui, g(x) = -3x, e sua derivada g'(x) = -3. Portanto:
v'(x) = e^-3x cdot (-3) = -3e^-3x

Passo 3

Agora que temos as derivadas u'(x) e v'(x), podemos aplicar a regra do produto.
Vamos colocar tudo na fórmula da derivada do produto:
f'(x) = u'v + uv'
Substituindo as expressões que encontramos:
f'(x) = (3x^2) (e^-3x) + (x^3)(-3e^-3x)
Agora vamos simplificar essa expressão. O primeiro termo fica 3x^2 e^-3x e o segundo termo -3x^3 e^-3x. Isso nos dá:
f'(x) = 3x^2 e^-3x - 3x^3 e^-3x
Podemos fatorar 3e^-3x, que é comum nos dois termos:
f'(x) = 3e^-3x (x^2 - x^3)
Assim, a expressão fica mais bonita e a gente termina essa parte.

Resposta

A derivada da função f(x) = x^3 e^-3x é f'(x) = 3e^-3x (x^2 - x^3).

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