Derive:
f(x)=e^{-x}-e^{-2 x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=e^{-x}-e^{-2x}.
Estamos trabalhando com derivadas de funções exponenciais compostas, então vamos usar a regra da cadeia.

Passo 2

Lembre que, se g(x)=e^{u(x)}, então
g'(x)=u'(x)\,e^{u(x)}.
Isso é a regra da cadeia aplicada a exponenciais.

Passo 3

No primeiro termo temos u(x)=-x, logo
u'(x)=-1.
Portanto
\frac{d}{dx}\bigl(e^{-x}\bigr)=(-1)\,e^{-x}=-e^{-x}.

Passo 4

No segundo termo temos v(x)=-2x, logo
v'(x)=-2.
Mas o termo original é -e^{-2x}= -e^{v(x)}. Assim
\frac{d}{dx}\bigl(-e^{-2x}\bigr) =-\,\bigl(v'(x)e^{v(x)}\bigr) =-\,\bigl((-2)\,e^{-2x}\bigr) =2e^{-2x}.

Passo 5

Somando as derivadas dos dois termos, obtemos
f'(x)=-e^{-x}+2e^{-2x}.

Resposta

f'(x)=-e^{-x}+2e^{-2x}.

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