Sejam f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} derivável e g(x)=f(\operatorname{tg} x). Calcule g^{\prime}\left(\frac{\pi}{4}\right) supondo que f^{\prime}(1)=2.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma função derivável f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R} e definimos
g(x)=f\bigl(\tan x\bigr).
Precisamos encontrar g'\bigl(\tfrac\pi4\bigr) sabendo que f'(1)=2. Para isso, vamos usar a regra da cadeia.

Passo 2

Aplicando a regra da cadeia a g(x)=f(u) com u=\tan x, temos
g'(x)=f'\bigl(u\bigr)\cdot u' =f'\bigl(\tan x\bigr)\cdot\frac{d}{dx}\bigl(\tan x\bigr) =f'\bigl(\tan x\bigr)\,\operatorname{sec}^2 x.

Passo 3

Agora avaliamos em x=\tfrac\pi4. Sabemos que
\tan\bigl(\tfrac\pi4\bigr)=1 \quad\text{e}\quad \operatorname{sec}^2\bigl(\tfrac\pi4\bigr)=\bigl(\tfrac1{\cos(\pi/4)}\bigr)^2 =\bigl(\tfrac1{\sqrt2/2}\bigr)^2=2.

Passo 4

Substituindo em g'(x)=f'(\tan x)\,\operatorname{sec}^2 x e usando f'(1)=2, obtemos
g'\bigl(\tfrac\pi4\bigr) =f'(1)\cdot 2 =2\cdot 2 =4.

Resposta

4

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