Resolva o problema: y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+8 y=\operatorname{sen} t, y(0)=y^{\prime}(0)=0
usando transformada de Laplace

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y'' - 6\,y' + 8\,y = \sin t,
com condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=0, usando transformada de Laplace. Vamos aplicar a transformada em ambos os lados e usar as fórmulas \mathcal{L}\{y'\}=sY(s)-y(0) e \mathcal{L}\{y''\}=s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0).

Passo 2

Tomando Laplace em cada termo e substituindo y(0)=0, y'(0)=0, obtemos
\mathcal{L}\{y''\}-6\,\mathcal{L}\{y'\}+8\,\mathcal{L}\{y\} = \mathcal{L}\{\sin t\}.
Isto dá
\bigl(s^2Y(s)-0-0\bigr)-6\bigl(sY(s)-0\bigr)+8\,Y(s) = \frac{1}{s^2+1}.
Agrupando em Y(s),
(s^2 -6s +8)\,Y(s) = \frac{1}{s^2+1}.

Passo 3

Isolando Y(s), temos
Y(s)=\frac{1}{(s^2+1)(s^2-6s+8)} =\frac{1}{(s^2+1)(s-2)(s-4)}.
Para inverter a transformada, fazemos decomposição em frações parciais da forma
\frac{1}{(s^2+1)(s-2)(s-4)} =\frac{A}{s-2}+\frac{B}{s-4}+\frac{C\,s+D}{s^2+1}.

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por (s^2+1)(s-2)(s-4), fica
1 = A\,(s-4)(s^2+1) + B\,(s-2)(s^2+1) + (C\,s+D)\,(s-2)(s-4).
Para achar A e B, use s=2 e s=4:
  • Em s=2: 1 = A\,(2-4)(2^2+1) = -10\,A, logo A = -\tfrac{1}{10}.
  • Em s=4: 1 = B\,(4-2)(4^2+1) = 34\,B, logo B = \tfrac{1}{34}.

Passo 5

Para C e D, compare coeficientes de potências de s. Fazendo isso ou resolvendo o sistema resultante, obtém-se
C = \frac{6}{85}, \qquad D = \frac{7}{85}.
Assim
Y(s) = -\frac{1}{10}\,\frac{1}{s-2} + \frac{1}{34}\,\frac{1}{s-4} + \frac{\tfrac{6}{85}\,s + \tfrac{7}{85}}{s^2+1}.

Passo 6

Aplicando a transformada inversa termo a termo: \mathcal{L}^{-1}\{\frac{1}{s-2}\}=e^{2t}, \mathcal{L}^{-1}\{\frac{1}{s-4}\}=e^{4t}, \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{s}{s^2+1}\}=\cos t, \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s^2+1}\}=\sin t.
Logo
y(t) = -\frac{1}{10}\,e^{2t} + \frac{1}{34}\,e^{4t} + \frac{6}{85}\,\cos t + \frac{7}{85}\,\sin t.

Resposta

y(t) = -\frac{1}{10}\,e^{2t} + \frac{1}{34}\,e^{4t} + \frac{6}{85}\,\cos t + \frac{7}{85}\,\sin t.

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