Calcule as derivadas até 3^{a} ordem das funçōes y=f(x) a seguir.
y=e^{2 \cos x}

Passo 1

O enunciado pede as derivadas de primeira, segunda e terceira ordem de
y = f(x) = e^{2\cos x}.
O conteúdo envolve a regra da cadeia para derivar a exponencial composta e a regra do produto quando surgirem fatores que dependem de x.

Passo 2

Para obter a primeira derivada usamos a regra da cadeia:
o derivado de e^{u(x)} é e^{u(x)}\cdot u'(x). Aqui u(x)=2\cos x e
u'(x) = 2\,( \cos x)' = 2\,( -\sin x ) = -2\sin x.
Logo,
y' = e^{2\cos x}\,\bigl(-2\sin x\bigr) \quad\Longrightarrow\quad y' = -2\sin x \,e^{2\cos x}.

Passo 3

Para a segunda derivada aplicamos a regra do produto em \,-2\sin x\cdot e^{2\cos x}. Seja
v(x) = -2\sin x, \quad w(x) = e^{2\cos x}.
Temos
v'(x) = -2\cos x, \quad w'(x) = e^{2\cos x}\cdot(-2\sin x).
Pelo produto,
y'' = v'(x)\,w(x) + v(x)\,w'(x) = (-2\cos x)\,e^{2\cos x} + (-2\sin x)\,\bigl(e^{2\cos x}\cdot(-2\sin x)\bigr).
Agrupando fatores comuns,
y'' = e^{2\cos x}\bigl(-2\cos x +4\sin^2 x\bigr) \quad\Longrightarrow\quad y'' = e^{2\cos x}\,(4\sin^2 x - 2\cos x).

Passo 4

Para a terceira derivada derivamos \,y'' = e^{2\cos x}(4\sin^2 x - 2\cos x)
novamente por produto. Seja
A(x)=e^{2\cos x}, \quad B(x)=4\sin^2 x - 2\cos x.
Já sabemos A'(x)=e^{2\cos x}(-2\sin x). E
B'(x) = 8\sin x\cos x +2\sin x.
Então
y''' = A'(x)\,B(x) + A(x)\,B'(x) = e^{2\cos x}\Bigl[-2\sin x\,(4\sin^2 x -2\cos x) + (8\sin x\cos x +2\sin x)\Bigr].
Fatorando 2\sin x:
y''' = 2\sin x\,e^{2\cos x}\bigl(-4\sin^2 x +6\cos x +1\bigr).

Resposta

y' = -2\sin x \,e^{2\cos x}. y'' = e^{2\cos x}\,(4\sin^2 x - 2\cos x). y''' = 2\sin x\,e^{2\cos x}\,(-4\sin^2 x +6\cos x +1).

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