Derive:
2. f(x)=10^{x^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a função f e pede sua derivada:
f(x)=10^{x^{2}}.
Queremos calcular f'(x), a derivada de f em função de x. Todas as quantidades que aparecerem são funções de x; 10 é a base exponencial e x é a variável independente.

Passo 2

Vamos lembrar duas coisas importantes que vamos usar (explicadas de forma bem didática).
  1. Identidade que troca a base a por e:
a^{u}=e^{u\ln a},
onde a>0 é constante, u é qualquer expressão (função) e \ln a é o logaritmo natural de a. Essa identidade vem do fato de que e^{\ln a}=a e das propriedades de potências.
  1. Regra da cadeia (explicada): se h(x)=H(G(x)) é a composição de uma função externa H e uma função interna G, então a derivada é
h'(x)=H'(G(x))\cdot G'(x).
Em palavras: deriva-se a função externa avaliando-a na função interna e multiplica-se pela derivada da função interna. Isso é essencial quando temos uma exponencial com uma expressão no expoente.

Passo 3

Usando a identidade da base, reescrevemos f em termos de e (isso facilita porque já sabemos derivar e^{\text{algo}}):
f(x)=10^{x^{2}}=e^{x^{2}\ln 10}.
Aqui definimos a função interna g(x)=x^{2}\ln 10. Note que \ln 10 é uma constante (aproximadamente 2{,}302585\ldots), e x^{2} é a parte variável.

Passo 4

Calcular a derivada da função interna g(x). Como \ln 10 é constante e x^{2} é uma potência simples, usamos a regra do produto (aqui é só constante vezes função):
g(x)=x^{2}\ln 10\quad\Rightarrow\quad g'(x)=2x\ln 10.
Explicando: a derivada de x^{2} é 2x; multiplicando pela constante \ln 10 obtemos 2x\ln 10.

Passo 5

Derivar f(x)=e^{g(x)} aplicando a regra da cadeia. A derivada da exponencial e^{g(x)} é e^{g(x)} multiplicada pela derivada de g(x):
f'(x)=e^{g(x)}\cdot g'(x).
Substituindo g(x) e g'(x) encontrados:
f'(x)=e^{x^{2}\ln 10}\cdot(2x\ln 10).

Passo 6

Voltar à forma com base 10 para uma expressão mais compacta. Como e^{x^{2}\ln 10}=10^{x^{2}}, obtemos
f'(x)=2x\ln 10\cdot 10^{x^{2}}.
Essa é a forma final, clara e direta para usar em prova: multiplicar 10^{x^{2}} por 2x\ln 10.

Resposta

f'(x)=2x\ln 10\cdot 10^{x^{2}}

Exercícios relacionados