Derive:
2.
2.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede sua derivada:
Queremos calcular
, a derivada de
em função de
. Todas as quantidades que aparecerem são funções de
;
é a base exponencial e
é a variável independente.
Passo 2
Vamos lembrar duas coisas importantes que vamos usar (explicadas de forma bem didática).
- Identidade que troca a base
por :
onde
é constante,
é qualquer expressão (função) e
é o logaritmo natural de
. Essa identidade vem do fato de que
e das propriedades de potências.
- Regra da cadeia (explicada): se
é a composição de uma função externa e uma função interna , então a derivada é
Em palavras: deriva-se a função externa avaliando-a na função interna e multiplica-se pela derivada da função interna. Isso é essencial quando temos uma exponencial com uma expressão no expoente.
Passo 3
Usando a identidade da base, reescrevemos
em termos de
(isso facilita porque já sabemos derivar
):
Aqui definimos a função interna
. Note que
é uma constante (aproximadamente
), e
é a parte variável.
Passo 4
Calcular a derivada da função interna
. Como
é constante e
é uma potência simples, usamos a regra do produto (aqui é só constante vezes função):
Explicando: a derivada de
é
; multiplicando pela constante
obtemos
.
Passo 5
Derivar
aplicando a regra da cadeia. A derivada da exponencial
é
multiplicada pela derivada de
:
Substituindo
e
encontrados:
Passo 6
Voltar à forma com base
para uma expressão mais compacta. Como
, obtemos
Essa é a forma final, clara e direta para usar em prova: multiplicar
por
.