Derive as seguintes funções:
f(x)=3 e^{x}+x^{2}

Passo 1

O enunciado dá a função e pede sua derivada. Os dados são:
  • A função é f(x)=3e^{x}+x^{2}.
    A pergunta é: calcular f'(x), a derivada de f em qualquer ponto x.

Passo 2

Lembrete do conceito: a derivada de uma função em x é a inclinação da reta tangente à curva naquele ponto e pode ser definida como
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
Na prática de prova usamos regras que vêm dessa definição (linearidade, regra da potência, derivada de e^{x}, etc.). Vou explicar e aplicar essas regras passo a passo.

Passo 3

Regra da linearidade (soma e constantes): se g(x)=a\cdot u(x)+b\cdot v(x) com constantes a,b e funções u,v, então
g'(x)=a\cdot u'(x)+b\cdot v'(x).
Isto é porque a operação de derivar preserva soma e permite fatorar constantes. Aqui podemos aplicar essa regra com a=3, u(x)=e^{x} e v(x)=x^{2}.

Passo 4

Derivada de x^{2} (regra da potência, demonstrada pelo limite):
Começamos da definição:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)=\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^{2}-x^{2}}{h}.
Expandindo o numerador:
(x+h)^{2}-x^{2}=x^{2}+2xh+h^{2}-x^{2}=2xh+h^{2}.
Dividindo por h:
\frac{2xh+h^{2}}{h}=2x+h.
Tomando o limite h\to0:
\lim_{h\to0}(2x+h)=2x.
Portanto
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)=2x.

Passo 5

Derivada de e^{x}:
Usando a definição e a propriedade e^{x+h}=e^{x}e^{h},
\frac{d}{dx}\bigl(e^{x}\bigr)=\lim_{h\to0}\frac{e^{x+h}-e^{x}}{h} =\lim_{h\to0}\frac{e^{x}e^{h}-e^{x}}{h} =e^{x}\lim_{h\to0}\frac{e^{h}-1}{h}.
O limite \lim_{h\to0}\dfrac{e^{h}-1}{h}=1 é uma propriedade básica da função exponencial (pode ser tomada como definição ou provada separadamente). Assim
\frac{d}{dx}\bigl(e^{x}\bigr)=e^{x}.

Passo 6

Agora juntamos tudo usando a linearidade do passo 3:
  • \dfrac{d}{dx}\bigl(3e^{x}\bigr)=3\cdot\dfrac{d}{dx}\bigl(e^{x}\bigr)=3e^{x}.
  • \dfrac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)=2x (do passo 4).
    Somando,
f'(x)=3e^{x}+2x.

Resposta

f'(x)=3e^{x}+2x

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