Derive as seguintes funções:
Passo 1
O enunciado dá a função e pede sua derivada. Os dados são:
- A função é
.
A pergunta é: calcular, a derivada de em qualquer ponto .
Passo 2
Lembrete do conceito: a derivada de uma função em
é a inclinação da reta tangente à curva naquele ponto e pode ser definida como
Na prática de prova usamos regras que vêm dessa definição (linearidade, regra da potência, derivada de
, etc.). Vou explicar e aplicar essas regras passo a passo.
Passo 3
Regra da linearidade (soma e constantes): se
com constantes
e funções
, então
Isto é porque a operação de derivar preserva soma e permite fatorar constantes. Aqui podemos aplicar essa regra com
,
e
.
Passo 4
Derivada de
(regra da potência, demonstrada pelo limite):
Começamos da definição:
Começamos da definição:
Expandindo o numerador:
Dividindo por
:
Tomando o limite
:
Portanto
Passo 5
Derivada de
:
Usando a definição e a propriedade ,
Usando a definição e a propriedade
O limite
é uma propriedade básica da função exponencial (pode ser tomada como definição ou provada separadamente). Assim
Passo 6
Agora juntamos tudo usando a linearidade do passo 3:
-
-
(do passo 4).
Somando,