Calcule o limite, se existir. lim x 4 x^2-4 xx^2-3 x-4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A gente tem a expressão . O conteúdo principal aqui é cálculo de limites, que nos ajuda a entender o comportamento de uma função quando se aproxima de um certo valor. Para resolver isso, vamos precisar simplificar a fração fatorando o numerador e o denominador.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir 4^2 - 4 times 44^2 - 3 times 4 - 4 = 16 - 1616 - 12 - 4 = 00 diretamente na expressão para ver o que acontece:
A gente bateu na famosa indeterminação 0/0, o que significa que precisamos simplificar a fração para continuar.

Passo 3

Agora, vamos fatorar o numerador e o denominador para ver se conseguimos cancelar algum termo comum.
Numerador:
x^2 - 4x = x(x - 4)
Denominador:
x^2 - 3x - 4
Para fatorar o denominador, vamos procurar dois números que multiplicados dão x^2 - 3x - 4 = (x - 4)(x + 1) e somados dão . Esses números são e .

Passo 4

Agora que fatoramos, a expressão fica assim:
x(x - 4)(x - 4)(x + 1)
Veja que temos o termo xx + 1 tanto no numerador quanto no denominador. Como está se aproximando de 4, mas não exatamente igual a 4, podemos cancelar esse termo:

Passo 5

Agora, com a expressão simplificada 44 + 1 = 45 , podemos substituir sem problemas:

Resposta

O limite é .

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