Derive:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para derivá-la (ou seja, encontrar a função derivada
). Informação relevante fornecida:
- É um polinômio, soma de três termos:
, e . - Cada termo é um monômio do tipo constante vezes
elevado a uma potência inteira positiva.
Passo 2
Definição de derivada (o conceito básico que explica o que estamos calculando). A derivada de uma função
no ponto
é o limite da razão de variação quando o incremento tende a zero:
Aqui:
-
é a derivada de em ; -
é um incremento pequeno em ; - a expressão dentro do limite é a taxa média de variação de
entre e .
Passo 3
Propriedades úteis que vamos usar (e suas explicações rápidas pelo limite):
- Linearidade: a derivada da soma é a soma das derivadas e constantes saem multiplicando:
Explicação resumida: aplicar a definição de derivada em
ou em
e dividir por
mostra que o fator constante sai da razão e que as diferenças se somam, permitindo separar os limites.
Passo 4
Regra do poder (power rule) — enunciado e demonstração para expoentes inteiros positivos: para
,
Demonstração rápida usando o limite e o binômio de Newton. Começamos com
Pelo binômio de Newton,
Subtraindo
e dividindo por
obtemos
Ao fazer
, todos os termos da soma que contêm
com
tendem a zero, restando
Isso prova a regra do poder para expoentes inteiros positivos.
Passo 5
Aplicar a linearidade e a regra do poder termo a termo na função dada.
Termo 1:
.
Pela regra do poder com ,
Pela regra do poder com
Termo 2:
.
Pela linearidade, a constante sai multiplicando, e pela regra do poder com
,
Pela linearidade, a constante
Termo 3:
.
Aqui é um caso especial do poder com :
, então
Aqui é um caso especial do poder com
Passo 6
Somar as derivadas dos termos (pela propriedade da soma):
Se quiser treinar: usar essa regra em
daria
.