Derive:
f(x)=x^{3}-5 x^{2}+2 x

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x^{3}-5x^{2}+2x
e pede para derivá-la (ou seja, encontrar a função derivada f'(x)). Informação relevante fornecida:
  • É um polinômio, soma de três termos: x^{3}, -5x^{2} e 2x.
  • Cada termo é um monômio do tipo constante vezes x elevado a uma potência inteira positiva.

Passo 2

Definição de derivada (o conceito básico que explica o que estamos calculando). A derivada de uma função f no ponto x é o limite da razão de variação quando o incremento tende a zero:
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
Aqui:
  • f'(x) é a derivada de f em x;
  • h é um incremento pequeno em x;
  • a expressão dentro do limite é a taxa média de variação de f entre x e x+h.

Passo 3

Propriedades úteis que vamos usar (e suas explicações rápidas pelo limite):
  1. Linearidade: a derivada da soma é a soma das derivadas e constantes saem multiplicando:
\bigl(a\cdot g(x)\bigr)'=a\cdot g'(x),\qquad\bigl(g(x)+h(x)\bigr)'=g'(x)+h'(x).
Explicação resumida: aplicar a definição de derivada em a\cdot g(x) ou em g(x)+h(x) e dividir por h mostra que o fator constante sai da razão e que as diferenças se somam, permitindo separar os limites.

Passo 4

Regra do poder (power rule) — enunciado e demonstração para expoentes inteiros positivos: para n\in\mathbb{N},
\frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.
Demonstração rápida usando o limite e o binômio de Newton. Começamos com
\frac{(x+h)^{n}-x^{n}}{h}.
Pelo binômio de Newton,
(x+h)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^{n-k}h^{k}=x^{n}+n x^{n-1}h+\sum_{k=2}^{n}\binom{n}{k}x^{n-k}h^{k}.
Subtraindo x^{n} e dividindo por h obtemos
\frac{(x+h)^{n}-x^{n}}{h}=n x^{n-1}+\sum_{k=2}^{n}\binom{n}{k}x^{n-k}h^{k-1}.
Ao fazer h\to0, todos os termos da soma que contêm h^{k-1} com k\ge2 tendem a zero, restando
\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^{n}-x^{n}}{h}=n x^{n-1}.
Isso prova a regra do poder para expoentes inteiros positivos.

Passo 5

Aplicar a linearidade e a regra do poder termo a termo na função dada.
Termo 1: x^{3}.
Pela regra do poder com n=3,
\frac{d}{dx}x^{3}=3x^{2}.
Termo 2: -5x^{2}.
Pela linearidade, a constante -5 sai multiplicando, e pela regra do poder com n=2,
\frac{d}{dx}\bigl(-5x^{2}\bigr)=-5\cdot\frac{d}{dx}x^{2}=-5\cdot(2x)=-10x.
Termo 3: 2x.
Aqui é um caso especial do poder com n=1: \dfrac{d}{dx}x=1, então
\frac{d}{dx}(2x)=2\cdot\frac{d}{dx}x=2\cdot 1=2.

Passo 6

Somar as derivadas dos termos (pela propriedade da soma):
f'(x)=3x^{2}-10x+2.
Se quiser treinar: usar essa regra em g(x)=x^{4}-3x+7 daria g'(x)=4x^{3}-3.

Resposta

f'(x)=3x^{2}-10x+2

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