Derive:
f(x)=cos (arctan (x));

Passo 1

A função dada é f(x)=cosl(arctan(x)r). Vamos precisar usar a regra da cadeia para derivação de uma composta e, depois, uma identidade trigonométrica para escrever sin(arctan(x)) em termos de x.

Passo 2

Definimos u=arctan(x), de modo que f(x)=cos(u). Aplicando a regra da cadeia, obtemos
f'(x)=ddul(cos(u)r)cdotdudx = -sin(u)cdot u'

Passo 3

Agora calculamos u'=tfracddx[arctan(x)]. Sabemos que
ddxl(arctan(x)r)=11+x^2
Logo,
f'(x)=-sinl(arctan(x)r)cdot11+x^2

Passo 4

Precisamos escrever sin(arctan(x)) de forma que dependa só de x. Considere um ângulo u tal que u=arctan(x). Numa triângulo retângulo onde tan(u)=x/1, temos cateto adjacente 1, cateto oposto x e hipotenusa raiz1+x^2. Assim,
sin(u)=cateto opostohipotenusa=xraiz1+x^2

Passo 5

Substituindo essa expressão em f'(x), vem
f'(x)=-xraiz1+x^2cdot11+x^2=-x(1+x^2)^3/2

Resposta

f'(x)=-x(1+x^2)^3/2

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