Derive:
f(x)=tan (3 x)arctan (3 x);

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função f(x)=tan(3x)arctan(3x). Vamos usar derivada de quociente e regra da cadeia, além das derivadas conhecidas de tan e arctan.

Passo 2

Definimos u(x)=tan(3x) e v(x)=arctan(3x). Para derivar u usamos a regra da cadeia: primeiro ddztan(z)=sec^2(z), depois multiplicamos pelo derivado de 3x):
u'(x)=sec^2(3x)cdot 3 =3sec^2(3x)

Passo 3

Para v(x)=arctan(3x), aplicamos a derivada ddzarctan(z)=11+z^2 e a regra da cadeia para 3x:
v'(x)=11+(3x)^2cdot 3 =31+9x^2

Passo 4

Agora usamos a regra do quociente:
f'(x)=u'(x),v(x)-u(x),v'(x)[v(x)]^2

Passo 5

Substituindo u,,u',,v,,v' e fatorando 3, obtemos:
f'(x)=3l(sec^2(3x),arctan(3x)-tfractan(3x)1+9x^2r)l(arctan(3x)r)^2

Resposta

f'(x)=3l(sec^2(3x),arctan(3x)-tfractan(3x)1+9x^2r)l(arctan(3x)r)^2

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