Derive f(x)=\cos x.

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos a derivada de f(x)=\cos x. O conteúdo que vamos usar é a definição de derivada pelo quociente incremental
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}
e uma identidade trigonométrica para a diferença de cossenos.

Passo 2

Aplicando a definição de derivada, temos
f'(x) =\lim_{h\to0}\frac{\cos(x+h)-\cos x}{h}.

Passo 3

Usamos a identidade
\cos(x+h)-\cos x =-2\sin\!\Bigl(x+\frac{h}{2}\Bigr)\,\sin\!\Bigl(\frac{h}{2}\Bigr).
Substituindo no quociente, fica
\frac{\cos(x+h)-\cos x}{h} =-2\,\sin\!\Bigl(x+\tfrac{h}{2}\Bigr)\,\frac{\sin(\tfrac{h}{2})}{h}.

Passo 4

Reescrevemos \frac{\sin(\tfrac{h}{2})}{h} como
\frac{\sin(\tfrac{h}{2})}{h} =\frac{1}{2}\,\frac{\sin(\tfrac{h}{2})}{\tfrac{h}{2}}.
Logo
\frac{\cos(x+h)-\cos x}{h} =-\sin\!\Bigl(x+\tfrac{h}{2}\Bigr)\,\frac{\sin(\tfrac{h}{2})}{\tfrac{h}{2}}.

Passo 5

Tomando limite h\to0:
  • \sin\bigl(x+\tfrac{h}{2}\bigr)\to\sin x.
  • \displaystyle\frac{\sin(\tfrac{h}{2})}{\tfrac{h}{2}}\to1.
    Portanto
f'(x) =-\sin x.

Resposta

A derivada de f(x)=\cos x é
f'(x)=-\sin x.

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