Encontre a derivada de f(x)=\left(x^{3}+2\right)^{2} usando a regra da cadeia.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de
f(x) = \bigl(x^{3} + 2\bigr)^{2}
usando a regra da cadeia. Esse conteúdo faz parte de diferenciação de funções compostas, onde aplicamos a cadeia para derivar uma função externa composta com uma interna.

Passo 2

Identificamos as funções envolvidas na composição:
a) a função externa g(u) = u^{2}, com u = x^{3} + 2;
b) a função interna u(x) = x^{3} + 2.
Pela regra da cadeia,
f'(x) = g'\bigl(u(x)\bigr)\,\cdot\,u'(x).

Passo 3

Calculamos a derivada da parte externa em relação a u:
g'(u) = 2u,
logo,
g'\bigl(u(x)\bigr) = 2\bigl(x^{3}+2\bigr).

Passo 4

Agora derivamos a parte interna u(x)=x^{3}+2:
u'(x) = 3x^{2}.

Passo 5

Multiplicamos os resultados da cadeia e simplificamos:
f'(x) = 2\bigl(x^{3}+2\bigr)\,\cdot\,3x^{2} = 6x^{2}\bigl(x^{3}+2\bigr).
Se preferir expandir,
f'(x) = 6x^{5} + 12x^{2}.

Resposta

f'(x) = 6x^{2}\bigl(x^{3}+2\bigr) \quad\text{(ou equivalently)}\quad f'(x) = 6x^{5} + 12x^{2}.

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