Derive
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada de
.
Informações dadas: a função é o produto de e do arco cosseno de
. Aqui vou tratar
como
.
Importante: a derivada de envolve
, então a expressão final só é válida para
(intervalo onde
é diferenciável).
Informações dadas: a função é o produto de
Importante: a derivada de
Passo 2
Regra do produto (lembrete didático): se
e
são funções diferenciáveis, então
Aqui devemos identificar
e
. Note que
porque a derivada de
é
.
Passo 3
Agora precisamos de
. Vou derivar
por diferenciação implícita: defina
. Então
Diferenciando ambos os lados em relação a
(tratando
como função de
):
Isolando
obtemos
Para escrever em termos de
, usamos
. Como
, isso dá
. Aqui é legítimo tomar a raiz positiva porque, para
, temos
e portanto
. Assim
Passo 4
Aplicando a regra do produto com
,
e
, obtemos
Portanto