Derive
f(x)=x \cos ^{-1} x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de f(x)=x\cos^{-1}x.
Informações dadas: a função é o produto de x e do arco cosseno de x. Aqui vou tratar \cos^{-1}x como \operatorname{arccos} x.
Importante: a derivada de \operatorname{arccos} x envolve \sqrt{1-x^{2}}, então a expressão final só é válida para -1<x<1 (intervalo onde \operatorname{arccos} x é diferenciável).

Passo 2

Regra do produto (lembrete didático): se u(x) e v(x) são funções diferenciáveis, então
( u(x)\,v(x) )' = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x).
Aqui devemos identificar u(x)=x e v(x)=\operatorname{arccos} x. Note que u'(x)=1 porque a derivada de x é 1.

Passo 3

Agora precisamos de v'(x)=\dfrac{d}{dx}\operatorname{arccos} x. Vou derivar \operatorname{arccos} x por diferenciação implícita: defina y=\operatorname{arccos} x. Então
\cos y = x.
Diferenciando ambos os lados em relação a x (tratando y como função de x):
-\sin y\,\frac{dy}{dx}=1.
Isolando \dfrac{dy}{dx} obtemos
\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{\sin y}.
Para escrever em termos de x, usamos \sin y=\sqrt{1-\cos^{2}y}. Como \cos y=x, isso dá \sin y=\sqrt{1-x^{2}}. Aqui é legítimo tomar a raiz positiva porque, para y=\operatorname{arccos} x, temos y\in[0,\pi] e portanto \sin y\ge 0. Assim
\frac{d}{dx}\operatorname{arccos} x = -\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}},\qquad -1<x<1.

Passo 4

Aplicando a regra do produto com u'(x)=1, u(x)=x e v'(x)=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}, obtemos
f'(x)=1\cdot \operatorname{arccos} x + x\cdot\left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\right).
Portanto
f'(x)=\operatorname{arccos} x - \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}},\qquad -1<x<1.

Resposta

\operatorname{arccos} x - \dfrac{x}{\sqrt{1-x^{2}}},\quad -1<x<1

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