Derive
f(x)=\log _{8}\left(x^{2}+3 x\right)

Passo 1

O enunciado dá a função f definida por
f(x)=\log_{8}\!\bigl(x^{2}+3x\bigr)
e pede para derivá-la, ou seja, encontrar f'(x). Informações relevantes que o enunciado fornece e que vou usar: a expressão interior do logaritmo é x^{2}+3x e o logaritmo tem base 8. Também é importante saber que a função só está definida quando \;x^{2}+3x>0\; (pois não se pode tomar log de número não positivo).

Passo 2

Vamos usar a fórmula de mudança de base dos logaritmos para transformar o logaritmo de base 8 em logaritmo natural (ln), porque a derivada de \ln tem forma simples e conhecida. A fórmula de mudança de base diz que, para base a>0, a\neq1, e para u>0,
\log_{a}u=\frac{\ln u}{\ln a}.
Explicando essa fórmula passo a passo: se \;y=\log_{a}u\; então por definição \;a^{y}=u. Aplicando o logaritmo natural nos dois lados dá \;\ln(a^{y})=\ln u\;. Como \ln(a^{y})=y\ln a, obtemos y\ln a=\ln u, logo y=\dfrac{\ln u}{\ln a}. Aqui u é a quantidade dentro do logaritmo (no nosso caso u=x^{2}+3x) e \ln a é uma constante (no nosso caso \ln 8).

Passo 3

Aplicando a mudança de base à função dada obtemos
f(x)=\frac{\ln\!\bigl(x^{2}+3x\bigr)}{\ln 8}.
Aqui \ln 8 é uma constante (número fixo), e a variável x está apenas em \ln\!\bigl(x^{2}+3x\bigr). Para derivar, podemos tirar a constante para fora da derivada:
f'(x)=\frac{1}{\ln 8}\cdot\frac{d}{dx}\Bigl[\ln\!\bigl(x^{2}+3x\bigr)\Bigr].

Passo 4

Agora precisamos derivar g(x)=\ln\!\bigl(x^{2}+3x\bigr). Vou explicar a regra que usamos: a derivada da função composta \ln(u(x)) é dada pela regra da cadeia. A regra da cadeia diz que, se h(x)=\varphi(u(x)), então h'(x)=\varphi'(u(x))\cdot u'(x). No caso \varphi(t)=\ln t, sabemos que \varphi'(t)=1/t para t>0. Assim, para g(x)=\ln(u(x)) temos
g'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Aqui u(x) é a função interna, que neste problema é u(x)=x^{2}+3x.

Passo 5

Calculamos agora u'(x) para u(x)=x^{2}+3x. Usamos regras básicas: a derivada de x^{2} é 2x (regra do poder: \dfrac{d}{dx}x^{n}=nx^{n-1}) e a derivada de 3x é 3 (constante vezes x). Então
u'(x)=2x+3.

Passo 6

Substituímos na fórmula da derivada de \ln(u(x)):
\frac{d}{dx}\Bigl[\ln\!\bigl(x^{2}+3x\bigr)\Bigr]=\frac{2x+3}{x^{2}+3x}.
Lembre que isso vale apenas quando x^{2}+3x>0 (domínio da função onde o logaritmo está definido).

Passo 7

Voltando a f'(x) e lembrando da constante \dfrac{1}{\ln 8} que estava fora da derivada, obtemos
f'(x)=\frac{1}{\ln 8}\cdot\frac{2x+3}{x^{2}+3x}.
Se quiser, podemos fatorar o denominador para ver outra forma de escrever:
x^{2}+3x=x(x+3),
portanto uma forma alternativa é
f'(x)=\frac{2x+3}{x(x+3)\,\ln 8}.

Resposta

f'(x)=\frac{2x+3}{(x^{2}+3x)\,\ln 8}

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