Derive
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
e pede para derivá-la, ou seja, encontrar
. Informações relevantes que o enunciado fornece e que vou usar: a expressão interior do logaritmo é
e o logaritmo tem base
. Também é importante saber que a função só está definida quando
(pois não se pode tomar log de número não positivo).
Passo 2
Vamos usar a fórmula de mudança de base dos logaritmos para transformar o logaritmo de base
em logaritmo natural (ln), porque a derivada de
tem forma simples e conhecida. A fórmula de mudança de base diz que, para base
,
, e para
,
Explicando essa fórmula passo a passo: se
então por definição
. Aplicando o logaritmo natural nos dois lados dá
. Como
, obtemos
, logo
. Aqui
é a quantidade dentro do logaritmo (no nosso caso
) e
é uma constante (no nosso caso
).
Passo 3
Aplicando a mudança de base à função dada obtemos
Aqui
é uma constante (número fixo), e a variável
está apenas em
. Para derivar, podemos tirar a constante para fora da derivada:
Passo 4
Agora precisamos derivar
. Vou explicar a regra que usamos: a derivada da função composta
é dada pela regra da cadeia. A regra da cadeia diz que, se
, então
. No caso
, sabemos que
para
. Assim, para
temos
Aqui
é a função interna, que neste problema é
.
Passo 5
Calculamos agora
para
. Usamos regras básicas: a derivada de
é
(regra do poder:
) e a derivada de
é
(constante vezes
). Então
Passo 6
Substituímos na fórmula da derivada de
:
Lembre que isso vale apenas quando
(domínio da função onde o logaritmo está definido).
Passo 7
Voltando a
e lembrando da constante
que estava fora da derivada, obtemos
Se quiser, podemos fatorar o denominador para ver outra forma de escrever:
portanto uma forma alternativa é