Derive
Passo 1
O que o problema pede: derivar a função
Informações dadas:
- A função é
- A função inversa trigonométrica escrita no enunciado é
(o mesmo que ). - Não foram fornecidas restrições adicionais no enunciado, então devemos cuidar do domínio natural da função ao derivar.
Passo 2
Identificar a estrutura da função (sem resolver ainda).
A função é uma composição: uma função exterior aplicada a uma função interior. Escrevemos:
A função é uma composição: uma função exterior aplicada a uma função interior. Escrevemos:
Quando temos uma função composta assim, para derivar usamos a ideia de multiplicar a derivada da parte exterior avaliada na parte interior pela derivada da parte interior (essa é a forma operacional da regra da cadeia). Vou explicar direitinho como aplicar isso nos próximos passos.
Passo 3
Derivar a função exterior
.
Usamos a regra da potência: se então
. Aqui
, então
Usamos a regra da potência: se
Explicando passo a passo: elevar a
e multiplicar pelo expoente resulta em
, que reescrevemos como
. Essa será a parte que vamos avaliar em
.
Passo 4
Derivar a função interior
.
Uma forma clara de justificar a derivada de é usar a relação inversa: se
então
. Derivando ambos os lados em relação a
obtemos
Uma forma clara de justificar a derivada de
Invertendo (para obter
) temos
Como
, substituímos e obtemos
Resumo: a derivada de
é
.
Passo 5
Aplicar a regra da cadeia (juntar resultados dos passos anteriores).
A derivada da composição é
A derivada da composição
Substituindo
e
que já encontramos:
e
Multiplicando:
Escrevendo como uma única fração:
Passo 6
Analisar domínio e pontos especiais (importante para a prova).
- Domínio da função original:
exige . Como e é crescente, isso significa . Logo a função está definida para - Domínio da fórmula da derivada: na expressão
há no denominador, portanto precisamos de , ou seja , para que a derivada finita dada pela fórmula exista. - Ponto
: a função existe em (vale ) mas a derivada não existe finitamente aí. Uma maneira rápida de ver isso é usar o comportamento perto de zero: quando , então . A razão incremental
portanto a derivada em
não é finita (não existe como número real).
- Conclusão: a expressão encontrada para
é válida para
Passo 7
Exemplo numérico rápido para consolidar (útil para prova ou checagem): calcular
.
Primeiro . Então
Primeiro
Isso confirma que a fórmula é usável diretamente quando
.