Derive
f(x)=\sqrt{\operatorname{arctg} x}

Passo 1

O que o problema pede: derivar a função \;f(x)=\sqrt{\operatorname{arctg} x}\;.
Informações dadas:
  • A função é \;f(x)=\sqrt{\operatorname{arctg} x}=\big(\operatorname{arctg} x\big)^{1/2}\;.
  • A função inversa trigonométrica escrita no enunciado é \operatorname{arctg} x (o mesmo que \arctan x).
  • Não foram fornecidas restrições adicionais no enunciado, então devemos cuidar do domínio natural da função ao derivar.

Passo 2

Identificar a estrutura da função (sem resolver ainda).
A função é uma composição: uma função exterior aplicada a uma função interior. Escrevemos:
f(x)=g(h(x))\quad\text{com}\quad g(u)=u^{1/2}\quad\text{e}\quad h(x)=\operatorname{arctg} x.
Quando temos uma função composta assim, para derivar usamos a ideia de multiplicar a derivada da parte exterior avaliada na parte interior pela derivada da parte interior (essa é a forma operacional da regra da cadeia). Vou explicar direitinho como aplicar isso nos próximos passos.

Passo 3

Derivar a função exterior g(u)=u^{1/2}.
Usamos a regra da potência: se g(u)=u^{n} então g'(u)=n u^{n-1}. Aqui n=\tfrac{1}{2}, então
g'(u)=\frac{1}{2}u^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{u}}.
Explicando passo a passo: elevar a 1/2 e multiplicar pelo expoente resulta em \tfrac{1}{2}u^{\tfrac{1}{2}-1}=\tfrac{1}{2}u^{-1/2}, que reescrevemos como \tfrac{1}{2\sqrt{u}}. Essa será a parte que vamos avaliar em u=h(x)=\operatorname{arctg} x.

Passo 4

Derivar a função interior h(x)=\operatorname{arctg} x.
Uma forma clara de justificar a derivada de \operatorname{arctg} x é usar a relação inversa: se y=\operatorname{arctg} x então x=\tan y. Derivando ambos os lados em relação a y obtemos
\frac{dx}{dy}=\operatorname{sec}^{2}y=1+\tan^{2}y.
Invertendo (para obter \tfrac{dy}{dx}) temos
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{1+\tan^{2}y}.
Como \tan y=x, substituímos e obtemos
h'(x)=\frac{d}{dx}\big(\operatorname{arctg} x\big)=\frac{1}{1+x^{2}}.
Resumo: a derivada de \operatorname{arctg} x é \tfrac{1}{1+x^{2}}.

Passo 5

Aplicar a regra da cadeia (juntar resultados dos passos anteriores).
A derivada da composição f(x)=g(h(x)) é
f'(x)=g'\big(h(x)\big)\cdot h'(x).
Substituindo g' e h' que já encontramos:
g'\big(h(x)\big)=\frac{1}{2\sqrt{h(x)}}=\frac{1}{2\sqrt{\operatorname{arctg} x}}
e
h'(x)=\frac{1}{1+x^{2}}.
Multiplicando:
f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{\operatorname{arctg} x}}\cdot\frac{1}{1+x^{2}}.
Escrevendo como uma única fração:
f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{\operatorname{arctg} x}\,(1+x^{2})}.

Passo 6

Analisar domínio e pontos especiais (importante para a prova).
  • Domínio da função original: \sqrt{\operatorname{arctg} x} exige \operatorname{arctg} x\ge 0. Como \operatorname{arctg} 0=0 e \operatorname{arctg} x é crescente, isso significa x\ge 0. Logo a função está definida para \;x\in[0,\infty)\;.
  • Domínio da fórmula da derivada: na expressão \dfrac{1}{2\sqrt{\operatorname{arctg} x}\,(1+x^{2})} \sqrt{\operatorname{arctg} x} no denominador, portanto precisamos de \operatorname{arctg} x>0, ou seja x>0, para que a derivada finita dada pela fórmula exista.
  • Ponto x=0: a função existe em x=0 (vale f(0)=0) mas a derivada não existe finitamente aí. Uma maneira rápida de ver isso é usar o comportamento perto de zero: \operatorname{arctg} x\sim x quando x\to 0, então \sqrt{\operatorname{arctg} x}\sim\sqrt{x}. A razão incremental
\frac{\sqrt{\operatorname{arctg} x}-0}{x}\sim\frac{\sqrt{x}}{x}=\frac{1}{\sqrt{x}}\to+\infty\quad\text{quando }x\to 0^{+},
portanto a derivada em 0 não é finita (não existe como número real).
  • Conclusão: a expressão encontrada para f'(x) é válida para \;x>0\;.

Passo 7

Exemplo numérico rápido para consolidar (útil para prova ou checagem): calcular f'(1).
Primeiro \operatorname{arctg} 1=\tfrac{\pi}{4}. Então
f'(1)=\frac{1}{2\sqrt{\tfrac{\pi}{4}}\,(1+1^{2})}=\frac{1}{2\sqrt{\tfrac{\pi}{4}}\cdot 2}=\frac{1}{4\sqrt{\tfrac{\pi}{4}}}.
Isso confirma que a fórmula é usável diretamente quando x>0.

Resposta

\displaystyle f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{\operatorname{arctg} x}\,(1+x^{2})} para x>0

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