Derive.
f(x)=x e^x cossec x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = x,e^x,csc x
O conteúdo aqui é a regra do produto para funções e a derivada de csc x.

Passo 2

Vamos enxergar f(x) como o produto de
h(x) = x,e^x e g(x) = csc x
Pela regra do produto,
f'(x) = h'(x),g(x) + h(x),g'(x)

Passo 3

Calcular h'(x). Como h(x)=xcdot e^x, aplicamos a regra do produto de duas funções:
h'(x) = ddx(x),e^x + x,ddx(e^x) = 1cdot e^x + xcdot e^x = e^x + x,e^x

Passo 4

Calcular g'(x). Sabendo que
csc x = (sin x)^-1 e que
ddxcsc x = -csc x,cot x, temos
g'(x) = -csc x,cot x

Passo 5

Substituir em
f'(x) = h'(x),g(x) + h(x),g'(x):
f'(x) = l(e^x + x,e^xr)csc x + l(x,e^xr)l(-csc x,cot xr)

Passo 6

Fatorar e^xcsc x para simplificar:
f'(x) = e^xcsc x,(1 + x) - x,e^xcsc x,cot x = e^xcsc xl(x + 1 - x,cot xr)

Resposta

f'(x) = e^x,csc xl(x + 1 - x,cot xr)

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