Calcule o volume do sólido interior à esfera x^2+y^2+z^2=16 e ao cilindro x^2+y^2=4 x, acima do plano z=0.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido que está simultaneamente dentro da esfera
x^2+y^2+z^2=16
dentro do cilindro
x^2+y^2=4x
e acima do plano z=0.
O conteúdo é cálculo de volume por coordenadas cilíndricas, pois tanto a esfera quanto o cilindro ficam simples em (r,theta,z).

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas temos
x = rcostheta, y = rsintheta, z=z,
o cilindro x^2+y^2=4x vira
r^2=4rcosthetaLongrightarrow r=4costheta
(com costheta>=0, isto é thetain[-tfracpi2,tfracpi2]).
A esfera x^2+y^2+z^2=16 impõe z^2=16-r^2. Como queremos acima de z=0, temos
0<= z<= raiz16-r^2
Logo o volume é
V=integraltheta=-pi2^pi2integralr=0^4costhetaintegralz=0^raiz16-r^2r,dz,dr,dtheta

Passo 3

Façamos a integral em z e r primeiro. Em z:
integral0^raiz16-r^2dz=raiz16-r^2
Então a parte em r é
integral0^4costhetarraiz16-r^2,dr
Use u=16-r^2, du=-2r,dr, dando
integral rraiz16-r^2,dr=-tfrac13(16-r^2)^3/2
Avaliado de r=0 a r=4costheta resulta
l[-tfrac13(16-r^2)^3/2r]0^4costheta =tfrac13l(16^3/2-(16-16cos^2theta)^3/2r) =tfrac643l(1-|sintheta|^3r)

Passo 4

O volume fica então
V=integral-pi2^pi2643l(1-|sintheta|^3r),dtheta
Como a função é par em theta, dá
V=2cdot643integral0^pi2l(1-sin^3thetar),dtheta =1283l[integral0^pi21,dtheta-integral0^pi2sin^3theta,dthetar]
Sabemos
integral0^pi21,dtheta=pi2, integral0^pi2sin^3theta,dtheta=23,
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V=1283l(pi2-23r) =64pi3-2569

Passo 5

Colocando em fator comum obtemos
V=649(3pi-4)

Resposta

V=649(3pi-4)

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