Resolva os PVIs a seguir.
y^prime prime+3 y^prime-4 y=t+3, y(0)=1, y^prime(0)=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse PVI juntos! O enunciado pede para resolver a equação diferencial $ y’’ + 3y’ - 4y = t + 3 $ com as condições iniciais $ y(0) = 1 $ e $ y’(0) = 0 $. A matéria que vamos usar aqui é Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: $ y’’ + 3y’ - 4y = 0 $. Para isso, montamos a equação característica:
y'' + 3y' - 4y = 0

Passo 3

Vamos resolver a equação característica usando a fórmula de Bhaskara:
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Onde $ a = 1 $, $ b = 3 $ e $ c = -4 $. Calculando o discriminante:
a = 1
Então,
b = 3
Isso dá dois valores de $ r $:
c = -4

Passo 4

Com os valores de $ r $, a solução geral da equação homogênea é:
r
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que vamos determinar mais adiante.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular $ y_p(t) $ para a equação completa $ y’’ + 3y’ - 4y = t + 3 $. Como o lado direito é um polinômio de primeiro grau, vamos supor que $ y_p(t) $ também seja um polinômio de primeiro grau:
yp(t)

Passo 6

Vamos calcular as derivadas de $ y_p(t) $:
yp(t)
yp'(t) = A

Passo 7

Substituindo $ y_p(t) $ e suas derivadas na equação diferencial:
yp(t)
0 + 3A - 4(At + B) = t + 3

Passo 8

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Para o termo com $ t $:
t
Para o termo constante:
-4A = 1 Rightarrow A = -14
3A - 4B = 3 Rightarrow 3(-14) - 4B = 3 Rightarrow -34 - 4B = 3

Passo 9

Assim, a solução particular é:
yp(t) = -14t - 1516

Passo 10

A solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea com a particular:
y(t) = yh(t) + yp(t) = C1 e^t + C2 e^-4t - 14t - 1516

Passo 11

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar $ C_1 $ e $ C_2 $.
Primeiro, para $ t = 0 $:
C1
C2

Passo 12

Agora, calculamos $ y’(t) $:
y'(t)
Aplicando $ t = 0 $:
y'(t) = C1 e^t - 4C2 e^-4t - 14
t = 0

Passo 13

Agora temos um sistema de duas equações:
C1 + C2 = 3116 C1 - 4C2 = 14
Vamos resolver esse sistema.
Subtraindo a segunda equação da primeira:
(C1 + C2) - (C1 - 4C2) = 3116 - 14
5C2 = 3116 - 416 = 2716
C2 = 2780
Substituindo $ C_2 $ na primeira equação:
C2
C1 + 2780 = 3116

Passo 14

Com os valores de $ C_1 $ e $ C_2 $, a solução geral final é:
C1

Resposta

A solução do PVI é
y(t) = 85 e^t + 2780 e^-4t - 14t - 1516

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