Resolva os PVIs a seguir.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse PVI juntos! O enunciado pede para resolver a equação diferencial $ y’’ + 3y’ - 4y = t + 3 $ com as condições iniciais $ y(0) = 1 $ e $ y’(0) = 0 $. A matéria que vamos usar aqui é Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: $ y’’ + 3y’ - 4y = 0 $. Para isso, montamos a equação característica:
Passo 3
Vamos resolver a equação característica usando a fórmula de Bhaskara:
Onde $ a = 1 $, $ b = 3 $ e $ c = -4 $. Calculando o discriminante:
Então,
Isso dá dois valores de $ r $:
Passo 4
Com os valores de $ r $, a solução geral da equação homogênea é:
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que vamos determinar mais adiante.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular $ y_p(t) $ para a equação completa $ y’’ + 3y’ - 4y = t + 3 $. Como o lado direito é um polinômio de primeiro grau, vamos supor que $ y_p(t) $ também seja um polinômio de primeiro grau:
Passo 6
Vamos calcular as derivadas de $ y_p(t) $:
Passo 7
Substituindo $ y_p(t) $ e suas derivadas na equação diferencial:
Passo 8
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Para o termo com $ t $:
Para o termo constante:
Passo 9
Assim, a solução particular é:
Passo 10
A solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea com a particular:
Passo 11
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar $ C_1 $ e $ C_2 $.
Primeiro, para $ t = 0 $:
Passo 12
Agora, calculamos $ y’(t) $:
Aplicando $ t = 0 $:
Passo 13
Agora temos um sistema de duas equações:
Vamos resolver esse sistema.
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Substituindo $ C_2 $ na primeira equação:
Passo 14
Com os valores de $ C_1 $ e $ C_2 $, a solução geral final é:
Resposta
A solução do PVI é