Derive
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Passo 1
Beleza, vamos resolver a derivada da função $ f(x) = \ln(x e^{x}) $. Esse exercício está na área de Cálculo Diferencial, especificamente envolvendo logaritmos e exponenciais. Para resolver, vamos precisar usar as propriedades dos logaritmos e as regras de derivação.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função usando uma propriedade dos logaritmos. Sabemos que $ \ln(ab) = \ln(a) + \ln(b) $. Então, aplicando isso na nossa função:
Passo 3
Agora, vamos simplificar ainda mais. Sabemos que $ \ln(e^{x}) = x $, porque o logaritmo natural e a exponencial são funções inversas. Então:
Passo 4
Agora que simplificamos a função, vamos derivar termo a termo. A derivada de $ \ln(x) $ em relação a $ x $ é $ \frac{1}{x} $, e a derivada de $ x $ é 1. Portanto:
Resposta
A derivada da função $ f(x) = \ln(x e^{x}) $ é: