Derive
f(x)=ln (x e^x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função $ f(x) = \ln(x e^{x}) $. Esse exercício está na área de Cálculo Diferencial, especificamente envolvendo logaritmos e exponenciais. Para resolver, vamos precisar usar as propriedades dos logaritmos e as regras de derivação.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função usando uma propriedade dos logaritmos. Sabemos que $ \ln(ab) = \ln(a) + \ln(b) $. Então, aplicando isso na nossa função:
ln(ab) = ln(a) + ln(b)

Passo 3

Agora, vamos simplificar ainda mais. Sabemos que $ \ln(e^{x}) = x $, porque o logaritmo natural e a exponencial são funções inversas. Então:
ln(e^x) = x

Passo 4

Agora que simplificamos a função, vamos derivar termo a termo. A derivada de $ \ln(x) $ em relação a $ x $ é $ \frac{1}{x} $, e a derivada de $ x $ é 1. Portanto:
ln(x)

Resposta

A derivada da função $ f(x) = \ln(x e^{x}) $ é:
f(x) = ln(x e^x)

Exercícios relacionados