Exercício 26 (2,5 pontos). Determine a área da região limitada no plano
, a qual é delimitada pelas curvas
e
. Apresente o esboço dessa região
no plano
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar a área de uma região no plano que é limitada pelas curvas $ y = \tan(x) $, pela reta $ x = \frac{\pi}{3} $ e pela reta $ y = 0 $. Para resolver isso, vamos usar o conceito de cálculo de área entre curvas, que envolve integrar a função que forma a borda da região que queremos medir.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar os limites de integração. A função $ y = \tan(x) $ cruza o eixo $ x $ no ponto onde $ y = 0 $, que é em $ x = 0 $. Então, nossos limites de integração são de $ x = 0 $ até $ x = \frac{\pi}{3} $.
Passo 3
Agora, vamos definir a função que está acima na nossa região. Entre $ x = 0 $ e $ x = \frac{\pi}{3} $, a função $ y = \tan(x) $ está acima da reta $ y = 0 $, que é o eixo $ x $.
Passo 4
Para encontrar a área, vamos integrar a função $ y = \tan(x) $ de $ x = 0 $ até $ x = \frac{\pi}{3} $. A integral de $ \tan(x) $ é $ -\ln|\cos(x)| $, então temos:
Passo 5
Calculando os limites da integral:
Sabemos que $ \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} $ e $ \cos(0) = 1 $. Substituindo:
Resposta
A área da região limitada é igual a $ \ln(2) $ unidades de área.