Utilize coordenadas polares para determinar o limite
lim (x, y) (0,0) e^-x^2-y^2-1x^2+y^2.
[ Se(r, theta) são as coordenadas polares do ponto (x, y) com r >= 0, observe que r 0^+quando (x, y) (0,0).]

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão nos pede. Precisamos determinar o limite da função e^-x^2-y^2-1x^2+y^2 quando o ponto (x, y) se aproxima de (0,0). Para facilitar essa análise, vamos usar coordenadas polares, que são ótimas para lidar com limites em duas dimensões que envolvem a distância até a origem.

Passo 2

Nas coordenadas polares, qualquer ponto (x, y) pode ser representado como (rcostheta, rsintheta), onde r é a distância do ponto à origem e theta é o ângulo em relação ao eixo positivo x. Conforme (x, y) (0,0), o valor de r tende a 0.

Passo 3

Vamos reescrever a função original em termos de r e theta:
e^-x^2-y^2-1x^2+y^2 = e^-r^2-1r^2
Isso simplifica nossa função, já que agora ela depende apenas de r.

Passo 4

Agora, analisamos o comportamento dessa nova expressão quando r 0:
limr to 0^+ e^-1 cdot e^-r^2r^2
Sabemos que e^-r^2 tende a 1 quando r tende a 0, então a expressão se aproxima de:
e^-1 cdot 10 = e^-10

Passo 5

Dividir um número positivo por um valor que tende a 0 resulta em infinito positivo. Portanto, o limite da função é infinito.

Resposta

O limite é +infty.

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