Utilize coordenadas polares para determinar o limite
.
[
são as coordenadas polares do ponto
com
, observe que
quando
.]
[
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão nos pede. Precisamos determinar o limite da função
quando o ponto
se aproxima de
. Para facilitar essa análise, vamos usar coordenadas polares, que são ótimas para lidar com limites em duas dimensões que envolvem a distância até a origem.
Passo 2
Nas coordenadas polares, qualquer ponto
pode ser representado como
, onde
é a distância do ponto à origem e
é o ângulo em relação ao eixo positivo
. Conforme
, o valor de
tende a
.
Passo 3
Vamos reescrever a função original em termos de
e
:
Isso simplifica nossa função, já que agora ela depende apenas de
.
Passo 4
Agora, analisamos o comportamento dessa nova expressão quando
:
Sabemos que
tende a
quando
tende a
, então a expressão se aproxima de:
Passo 5
Dividir um número positivo por um valor que tende a
resulta em infinito positivo. Portanto, o limite da função é infinito.
Resposta
O limite é
.