Derive
v(t)=(2 t^3+3)(t^4-2 t);

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função $ v(t) = (2t^{3} + 3)(t^{4} - 2t) $. Aqui, estamos trabalhando com Cálculo, mais especificamente com derivadas de funções que são produtos de duas outras funções. Para resolver isso, vamos precisar usar a Regra do Produto.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas funções que estão sendo multiplicadas. Vamos chamar:
  • $ u(t) = 2t^{3} + 3 $
  • $ w(t) = t^{4} - 2t $

Passo 3

Agora, vamos lembrar da Regra do Produto. Ela diz que se você tem uma função que é o produto de duas funções $ u(t) $ e $ w(t) $, a derivada dessa função é:
u(t)
Isso significa que primeiro derivamos $ u(t) $ e multiplicamos pela $ w(t) $, depois somamos $ u(t) $ vezes a derivada de $ w(t) $.

Passo 4

Vamos calcular a derivada de $ u(t) $:
u(t)
A derivada de $ 2t^{3} $ é $ 6t^{2} $ e a derivada de uma constante é zero.

Passo 5

Agora, vamos derivar $ w(t) $:
w(t)
A derivada de $ t^{4} $ é $ 4t^{3} $ e a derivada de $ -2t $ é $ -2 $.

Passo 6

Aplicando a Regra do Produto:
v'(t) = u'(t) cdot w(t) + u(t) cdot w'(t) v'(t) = (6t^2) cdot (t^4 - 2t) + (2t^3 + 3) cdot (4t^3 - 2)

Passo 7

Vamos agora fazer as multiplicações:
6t^2 cdot t^4 = 6t^6 6t^2 cdot (-2t) = -12t^3 2t^3 cdot 4t^3 = 8t^6 2t^3 cdot (-2) = -4t^3 3 cdot 4t^3 = 12t^3 3 cdot (-2) = -6

Passo 8

Juntando tudo:
v'(t) = 6t^6 - 12t^3 + 8t^6 - 4t^3 + 12t^3 - 6

Passo 9

Vamos simplificar somando os termos semelhantes:
6t^6 + 8t^6 = 14t^6 -12t^3 - 4t^3 + 12t^3 = -4t^3 Constante: -6

Passo 10

Então, a derivada simplificada fica:
v'(t) = 14t^6 - 4t^3 - 6

Resposta

A derivada de $ v(t) $ é $ v’(t) = 14t^{6} - 4t^{3} - 6 $.

Exercícios relacionados