Derive:
Passo 1
Beleza, vamos derivar a função $ f(x) = x^{4} \ln(x) $. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial, onde precisamos usar regras de derivação para funções que são produtos de outras funções. Vamos precisar aplicar a Regra do Produto para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função que vão entrar na Regra do Produto. A Regra do Produto é usada quando temos uma função que é o produto de duas outras funções, ou seja, se $ f(x) = u(x) \cdot v(x) $, então a derivada $ f’(x) = u’(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v’(x) $.
Passo 3
Na nossa função, podemos considerar:
- $ u(x) = x^{4} $
- $ v(x) = \ln(x) $
Agora, vamos encontrar as derivadas de $ u(x) $ e $ v(x) $.
Passo 4
Calculando as derivadas individuais:
- A derivada de $ u(x) = x^{4} $ é $ u’(x) = 4x^{3} $ (usando a regra do poder, que diz que a derivada de $ x^n $ é $ n x^{n-1} $).
- A derivada de $ v(x) = \ln(x) $ é $ v’(x) = \frac{1}{x} $ (conhecida derivada do logaritmo natural).
Passo 5
Aplicando a Regra do Produto:
Simplificando o segundo termo:
Portanto:
Resposta
A derivada de $ f(x) = x^{4} \ln(x) $ é: