Derive:
f(x)=x^4 ln (x)

Passo 1

Beleza, vamos derivar a função $ f(x) = x^{4} \ln(x) $. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial, onde precisamos usar regras de derivação para funções que são produtos de outras funções. Vamos precisar aplicar a Regra do Produto para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função que vão entrar na Regra do Produto. A Regra do Produto é usada quando temos uma função que é o produto de duas outras funções, ou seja, se $ f(x) = u(x) \cdot v(x) $, então a derivada $ f’(x) = u’(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v’(x) $.

Passo 3

Na nossa função, podemos considerar:
  • $ u(x) = x^{4} $
  • $ v(x) = \ln(x) $
Agora, vamos encontrar as derivadas de $ u(x) $ e $ v(x) $.

Passo 4

Calculando as derivadas individuais:
  • A derivada de $ u(x) = x^{4} $ é $ u’(x) = 4x^{3} $ (usando a regra do poder, que diz que a derivada de $ x^n $ é $ n x^{n-1} $).
  • A derivada de $ v(x) = \ln(x) $ é $ v’(x) = \frac{1}{x} $ (conhecida derivada do logaritmo natural).

Passo 5

Aplicando a Regra do Produto:
f'(x) = u'(x) cdot v(x) + u(x) cdot v'(x) = 4x^3 cdot ln(x) + x^4 cdot 1x
Simplificando o segundo termo:
x^4 cdot 1x = x^3
Portanto:
f'(x) = 4x^3 ln(x) + x^3 = x^3(4 ln(x) + 1)

Resposta

A derivada de $ f(x) = x^{4} \ln(x) $ é:
f(x) = x^4 ln(x)

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