Derive
Passo 1
O enunciado pede a derivada da função
.
Informações dadas: a função é a composição de duas funções trigonométricas — a cotangente aplicada à cossecante de . Não há outros dados no enunciado.
Informações dadas: a função é a composição de duas funções trigonométricas — a cotangente aplicada à cossecante de
Passo 2
Primeiro vamos fixar a notação que usaremos (mais comum em TeX): a função
corresponde a
e
corresponde a
. Assim reescrevemos a função de forma clara:
Agora sabemos que trata-se de uma composição
com
e
. A derivação será feita aplicando a regra da cadeia. Também é bom lembrar que a função só está definida onde
(porque
não existe quando
) e onde
não é um múltiplo inteiro de
(porque
não está definida em valores
).
Passo 3
Vou explicar a regra da cadeia de um jeito bem direto: se
, então
Ou seja: deriva a função externa
avaliando-a na parte interna
e multiplica pelo derivado da parte interna
. A ideia é “derivar por fora e multiplicar pelo derivado por dentro”.
Passo 4
Precisamos das derivadas das funções básicas que aparecem:
a) Derivada de em relação a
. Podemos obter a partir de
usando a regra do quociente. Fazendo isso:
a) Derivada de
Portanto
Passo 5
b) Derivada de
em relação a
. Podemos usar
. Aplicando a regra da derivada de recíproco (ou quociente) obtemos:
Reescrevendo com as funções trigonométricas conhecidas:
Logo
Passo 6
Agora aplicamos a regra da cadeia com
e
. Substituindo
em
e multiplicando por
:
Passo 7
Simplificamos os sinais e organizamos os fatores:
Podemos escrever de forma bem explícita:
ou, com um ponto de multiplicação,
Ambas as formas significam a mesma coisa:
é a função cosecante ao quadrado aplicada ao valor
, não é
confundido com outra notação (mas aqui essa notação também seria equivalente — atenção para a colocação dos parênteses para evitar ambiguidade).
Passo 8
Comentário sobre domínio e onde a derivada existe: a expressão para
só faz sentido quando todas as peças estão definidas; portanto precisamos de
(para
existir) e também
para todo
(para
estar definida). Nessas
em que a função
não está definida, não existe derivada.
Passo 9
Um pequeno exemplo numérico para fixar: em
temos
, logo
e
. Substituindo na fórmula:
Isso ilustra como usar a fórmula final.