Derive
f(x)=\operatorname{cotg}(\operatorname{cossec} x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função \displaystyle f(x)=\operatorname{cotg}(\operatorname{cossec} x).
Informações dadas: a função é a composição de duas funções trigonométricas — a cotangente aplicada à cossecante de x. Não há outros dados no enunciado.

Passo 2

Primeiro vamos fixar a notação que usaremos (mais comum em TeX): a função \operatorname{cotg} corresponde a \cot e \operatorname{cossec} corresponde a \csc. Assim reescrevemos a função de forma clara:
f(x)=\cot(\csc x).
Agora sabemos que trata-se de uma composição f(x)=g(h(x)) com g(u)=\cot u e h(x)=\csc x. A derivação será feita aplicando a regra da cadeia. Também é bom lembrar que a função só está definida onde \sin x\neq0 (porque \csc x não existe quando \sin x=0) e onde \csc x não é um múltiplo inteiro de \pi (porque \cot não está definida em valores u=k\pi).

Passo 3

Vou explicar a regra da cadeia de um jeito bem direto: se f(x)=g(h(x)), então
f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x).
Ou seja: deriva a função externa g avaliando-a na parte interna h(x) e multiplica pelo derivado da parte interna h'(x). A ideia é “derivar por fora e multiplicar pelo derivado por dentro”.

Passo 4

Precisamos das derivadas das funções básicas que aparecem:
a) Derivada de \cot u em relação a u. Podemos obter a partir de \cot u=\dfrac{\cos u}{\sin u} usando a regra do quociente. Fazendo isso:
\frac{d}{du}\cot u=\frac{-\sin u\cdot\sin u - \cos u\cdot\cos u}{\sin^2 u}=\frac{-(\sin^2 u+\cos^2 u)}{\sin^2 u}=-\frac{1}{\sin^2 u}=-\csc^2 u.
Portanto
g'(u)=\frac{d}{du}\cot u=-\csc^2 u.

Passo 5

b) Derivada de \csc x em relação a x. Podemos usar \csc x=\dfrac{1}{\sin x}. Aplicando a regra da derivada de recíproco (ou quociente) obtemos:
\frac{d}{dx}\csc x=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{\sin x}\right)=-\frac{\cos x}{\sin^2 x}.
Reescrevendo com as funções trigonométricas conhecidas:
-\frac{\cos x}{\sin^2 x} = -\left(\frac{\cos x}{\sin x}\right)\left(\frac{1}{\sin x}\right) = -\cot x\;\csc x.
Logo
h'(x)=\frac{d}{dx}\csc x=-\csc x\cot x.

Passo 6

Agora aplicamos a regra da cadeia com g'(u)=-\csc^2 u e h'(x)=-\csc x\cot x. Substituindo u=h(x)=\csc x em g' e multiplicando por h'(x):
f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x) = \big(-\csc^2(\csc x)\big)\cdot\big(-\csc x\cot x\big).

Passo 7

Simplificamos os sinais e organizamos os fatores:
f'(x)=\csc^2(\csc x)\,\cdot\,\csc x\cot x.
Podemos escrever de forma bem explícita:
\boxed{\,f'(x)=\csc x\cot x\;\csc^2\big(\csc x\big)\,}
ou, com um ponto de multiplicação,
\boxed{\,f'(x)=\csc x\cot x\cdot \csc^2(\csc x)\,}
Ambas as formas significam a mesma coisa: \csc^2(\csc x) é a função cosecante ao quadrado aplicada ao valor \csc x, não é (\csc x)^2 confundido com outra notação (mas aqui essa notação também seria equivalente — atenção para a colocação dos parênteses para evitar ambiguidade).

Passo 8

Comentário sobre domínio e onde a derivada existe: a expressão para f'(x) só faz sentido quando todas as peças estão definidas; portanto precisamos de \sin x\neq0 (para \csc x existir) e também \csc x\neq k\pi para todo k\in\mathbb{Z} (para \cot(\csc x) estar definida). Nessas x em que a função f não está definida, não existe derivada.

Passo 9

Um pequeno exemplo numérico para fixar: em x=\pi/6 temos \sin(\pi/6)=1/2, logo \csc(\pi/6)=2 e \cot(\pi/6)=\sqrt{3}. Substituindo na fórmula:
f'\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=\csc\!\left(\frac{\pi}{6}\right)\cot\!\left(\frac{\pi}{6}\right)\csc^2\!\big(\csc(\tfrac{\pi}{6})\big)=2\cdot\sqrt{3}\cdot\csc^2(2).
Isso ilustra como usar a fórmula final.

Resposta

\csc x\cot x\;\csc^2\big(\csc x\big)

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