Derive f(x)=e^sen(ln (x^3))

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão pede pra derivar a função $ f(x) = e{\sin\left(\ln\left(x{3}\right)\right)} $. Vamos usar conceitos de derivação de funções compostas, exponenciais, logaritmos e funções trigonométricas. Precisaremos aplicar a regra da cadeia várias vezes para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo. Sabemos que $ \ln(x^{3}) = 3\ln(x) $ por uma das propriedades dos logaritmos. Então, nossa função fica:
ln(x^3) = 3ln(x)

Passo 3

Agora, vamos identificar as funções compostas que teremos que derivar. Temos uma função exponencial $ e^{u} $, onde $ u = \sin(3\ln(x)) $. Para derivar $ e^{u} $, a gente usa a regra da cadeia que nos diz que a derivada é $ e^{u} \cdot u’ $.

Passo 4

Vamos encontrar $ u’ $, que é a derivada de $ \sin(3\ln(x)) $. Para isso, usamos novamente a regra da cadeia. A derivada de $ \sin(v) $ é $ \cos(v) \cdot v’ $, onde $ v = 3\ln(x) $.

Passo 5

Agora, derivamos $ v = 3\ln(x) $. A derivada de $ \ln(x) $ é $ \frac{1}{x} $, então:
v = 3ln(x)

Passo 6

Voltando para $ u’ $, temos:
u'

Passo 7

Finalmente, aplicamos a regra da cadeia na função original:
f'(x) = e^sin(3ln(x)) cdot 3cos(3ln(x))x

Resposta

A derivada da função é:
f'(x) = 3, e^sin(3ln(x)) cdot cos(3ln(x))x

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