Resolva os problemas de valor inicial:
ly^prime+3 x^2 y=e^-x^3+x y(0)=4

Passo 1

Temos a EDO de primeira ordem linear y' + 3x^2y = e^-x^3 + x com condição inicial y(0)=4. Vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Calculamos o fator integrante mu(x) = e^ integral 3x^2,dx = e^x^3

Passo 3

Multiplicamos a EDO por mu(x):
e^x^3y' + 3x^2e^x^3y = e^x^3e^-x^3 + x = e^x
O lado esquerdo é a derivada de e^x^3y. Reconhecemos que
$$\frac{d}{dx}\bigl(e{x3}y\bigr) = e^x.
ddxl(e^x^3yr) = e^x e{x3}y = \int e^x,dx = e^x + C.$$

Passo 4

Isolamos y:
y = e^x + Ce^x^3 = e^x - x^3 + Ce^-x^3

Passo 5

Usamos a condição inicial y(0)=4:
(e^0 + C)e^0 = 4 implies 1 + C = 4 implies C = 3

Resposta

y = e^x - x^3 + 3e^-x^3

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