Seja f(x)=x^3-3 x^2+1
Encontre os máximos e mínimos locais de f.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos de máximo e mínimo local da função $ f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 1 $. Para isso, vamos usar cálculo, especificamente derivadas, para encontrar onde a função atinge esses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada de $ f(x) $. A derivada nos dá a inclinação da função em qualquer ponto, e onde essa inclinação é zero, podemos ter possíveis máximos ou mínimos.
A derivada de $ f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 1 $ é:
f(x)

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos onde a derivada é igual a zero, pois esses são os candidatos a máximos e mínimos.
3x^2 - 6x = 0
Podemos fatorar essa equação:
3x(x - 2) = 0
Então, as soluções são:
x = 0 e x = 2

Passo 4

Com os pontos críticos $ x = 0 $ e $ x = 2 $, precisamos determinar se são máximos ou mínimos. Para isso, vamos usar a segunda derivada, que nos ajuda a saber a concavidade da função nesses pontos.
Primeiro, calculamos a segunda derivada de $ f(x) $:
x = 0

Passo 5

Agora, avaliamos a segunda derivada nos pontos críticos.
Para $ x = 0 $:
x = 0
Como $ f’’(0) < 0 $, a função é côncava para baixo nesse ponto, indicando um máximo local.
Para $ x = 2 $:
f''(0) = 6(0) - 6 = -6
Como $ f’’(2) > 0 $, a função é côncava para cima nesse ponto, indicando um mínimo local.

Resposta

A função $ f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 1 $ tem um máximo local em $ x = 0 $ com $ f(0) = 1 $ e um mínimo local em $ x = 2 $ com $ f(2) = -3 $.

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