Considere a função F(x)=\left(\frac{2 x+1}{x^{2}+1}\right)^{2}.
O valor de F^{\prime}(1) é
Escolha uma opção: \bigcirc a. -3 / 2 \bigcirc b. 1 / 2 \bigcirc c. -1 / 2 \bigcirc d. 3 / 2 \bigcirc e. \mathbf{0}
Passo 1
O enunciado dá a função
F(x)=\left(\frac{2x+1}{x^{2}+1}\right)^{2}
e pede o valor da derivada de F no ponto x=1, ou seja, F^{\prime}(1).
Informações relevantes: \,F(x) está escrita como uma potência de uma função \left(\cdot\right)^{2}.
O ponto onde queremos a derivada é x=1.
Passo 2
Primeiro passo técnico: escrever F como composição para aplicar regras de derivação com clareza. Definimos a função intermediária
u(x)=\frac{2x+1}{x^{2}+1},
assim
F(x)=\bigl(u(x)\bigr)^{2}.
Explicação didática da regra usada: regra da cadeia.
Se F(x)=\bigl(u(x)\bigr)^{2}, a regra da cadeia diz que a derivada é
F^{\prime}(x)=2\,u(x)\,u^{\prime}(x).
Aqui u(x) é a função interna e 2u é a derivada da função externa v\mapsto v^{2}. Em palavras: derivo a externa mantendo a interna e multiplico pela derivada da interna.
Passo 3
Agora precisamos de u^{\prime}(x). Como u(x) é um quociente u(x)=\dfrac{p(x)}{q(x)} com p(x)=2x+1 e q(x)=x^{2}+1, usamos a regra do quociente.
A regra do quociente afirma que, para u(x)=\dfrac{p(x)}{q(x)},