Considere a função F(x)=\left(\frac{2 x+1}{x^{2}+1}\right)^{2}.
O valor de F^{\prime}(1) é
Escolha uma opção:
\bigcirc a. -3 / 2
\bigcirc b. 1 / 2
\bigcirc c. -1 / 2
\bigcirc d. 3 / 2
\bigcirc e. \mathbf{0}

Passo 1

O enunciado dá a função
F(x)=\left(\frac{2x+1}{x^{2}+1}\right)^{2}
e pede o valor da derivada de F no ponto x=1, ou seja, F^{\prime}(1).
Informações relevantes:
\,F(x) está escrita como uma potência de uma função \left(\cdot\right)^{2}.
O ponto onde queremos a derivada é x=1.

Passo 2

Primeiro passo técnico: escrever F como composição para aplicar regras de derivação com clareza. Definimos a função intermediária
u(x)=\frac{2x+1}{x^{2}+1},
assim
F(x)=\bigl(u(x)\bigr)^{2}.
Explicação didática da regra usada: regra da cadeia.
Se F(x)=\bigl(u(x)\bigr)^{2}, a regra da cadeia diz que a derivada é
F^{\prime}(x)=2\,u(x)\,u^{\prime}(x).
Aqui u(x) é a função interna e 2u é a derivada da função externa v\mapsto v^{2}. Em palavras: derivo a externa mantendo a interna e multiplico pela derivada da interna.

Passo 3

Agora precisamos de u^{\prime}(x). Como u(x) é um quociente u(x)=\dfrac{p(x)}{q(x)} com p(x)=2x+1 e q(x)=x^{2}+1, usamos a regra do quociente.
A regra do quociente afirma que, para u(x)=\dfrac{p(x)}{q(x)},
u^{\prime}(x)=\frac{p^{\prime}(x)\,q(x)-p(x)\,q^{\prime}(x)}{\bigl(q(x)\bigr)^{2}}.
Aqui p^{\prime} e q^{\prime} são as derivadas dos polinômios p e q.

Passo 4

Calculemos as derivadas simples:
p(x)=2x+1 \quad\Rightarrow\quad p^{\prime}(x)=2,
q(x)=x^{2}+1 \quad\Rightarrow\quad q^{\prime}(x)=2x.
Substituímos na fórmula do quociente:
u^{\prime}(x)=\frac{2\,(x^{2}+1)-(2x+1)\,(2x)}{(x^{2}+1)^{2}}.

Passo 5

Vamos simplificar o numerador passo a passo (faça assim na prova para evitar erros):
Primeiro multiplicações:
2\,(x^{2}+1)=2x^{2}+2,
(2x+1)(2x)=4x^{2}+2x.
Agora a subtração:
2x^{2}+2-(4x^{2}+2x)=(2x^{2}-4x^{2})-(2x)+2=-2x^{2}-2x+2.
Portanto
u^{\prime}(x)=\frac{-2x^{2}-2x+2}{(x^{2}+1)^{2}}.

Passo 6

Voltemos à regra da cadeia onde F^{\prime}(x)=2u(x)u^{\prime}(x).
Substituindo u(x) e u^{\prime}(x) temos
F^{\prime}(x)=2\cdot\frac{2x+1}{x^{2}+1}\cdot\frac{-2x^{2}-2x+2}{(x^{2}+1)^{2}}.
Juntando os denominadores:
F^{\prime}(x)=\frac{2(2x+1)\bigl(-2x^{2}-2x+2\bigr)}{(x^{2}+1)^{3}}.

Passo 7

Podemos multiplicar o 2 do numerador com o polinômio -2x^{2}-2x+2 para simplificar:
2\bigl(-2x^{2}-2x+2\bigr)=-4x^{2}-4x+4.
Então
F^{\prime}(x)=\frac{(2x+1)\bigl(-4x^{2}-4x+4\bigr)}{(x^{2}+1)^{3}}.

Passo 8

Agora avaliamos em x=1. Calculemos numerador e denominador separadamente.
Para o fator 2x+1:
2\cdot 1+1=3.
Para o polinômio -4x^{2}-4x+4 em x=1:
-4\cdot 1^{2}-4\cdot 1+4=-4-4+4=-4.
Produto do numerador:
3\cdot(-4)=-12.
Denominador:
(x^{2}+1)^{3}\Big|_{x=1}=(1^{2}+1)^{3}=(2)^{3}=8.

Passo 9

Portanto
F^{\prime}(1)=\frac{-12}{8}=\,-\frac{12}{8}.
Simplificando a fração dividindo numerador e denominador por 4:
-\frac{12}{8}=-\frac{3}{2}.

Resposta

a. -\tfrac{3}{2}

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