Verifique que a função dada é uma solução do problema de valor inicial (PVI):
a) ly^prime+y=0 y(0)=5

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a função dada é solução do PVI de primeira ordem homogêneo com condição inicial. O conteúdo envolve EDO linear de primeira ordem e precisamos calcular derivada, testar a equação diferencial e checar a condição inicial.

Passo 2

Vamos calcular a derivada de
y'(x)=ddxl(5e^-xr)=5cdotddx(e^-x)=5cdot(-e^-x)=-5e^-x

Passo 3

Substituímos y(x) e y'(x) na equação diferencial y'+y=0:
y'(x)+y(x)=-5e^-x+5e^-x=0,
o que mostra que a EDO é satisfeita.

Passo 4

Agora verificamos a condição inicial. Calculamos
y(0)=5e^0=5,
o que coincide com y(0)=5, então a condição inicial também é satisfeita.

Resposta

A função y(x)=5e^{-x} satisfaz tanto a equação diferencial y’+y=0 quanto a condição inicial y(0)=5, logo é solução do PVI.

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