Derive.
f(x)=x e^-2 xsec (3 x).

Passo 1

Vamos lá! Precisamos derivar a função f(x) = x e^-2 xsec(3 x). Para isso, vamos usar a regra do quociente, que é bem útil quando temos uma função que é uma fração. A regra do quociente diz que, se temos uma função da forma uv, onde u e v são funções de x, a derivada é dada por:
(uv)' = u'v - uv'v^2
Além disso, vamos precisar calcular as derivadas de u = x e^-2x e v = sec(3x).

Passo 2

Primeiro, vamos derivar u = x e^-2x. Aqui, precisamos usar a regra do produto, porque u é um produto de duas funções: x e e^-2x.
A regra do produto diz que se temos duas funções a(x) e b(x), a derivada é:
(a b)' = a' b + a b'
Então, vamos calcular as derivadas de a(x) = x e b(x) = e^-2x:
  1. a' = 1 (a derivada de x é 1),
  2. Para b', usamos a regra da cadeia. A derivada de e^g(x) é e^g(x) cdot g'(x). Aqui, g(x) = -2x, então g'(x) = -2. Assim, b' = e^-2x cdot (-2) = -2 e^-2x.
Agora aplicando a regra do produto:
u' = 1 cdot e^-2x + x cdot (-2 e^-2x) = e^-2x - 2x e^-2x = e^-2x(1 - 2x)

Passo 3

Agora vamos derivar v = sec(3x). Para isso, usamos a regra da cadeia. A derivada de sec(g(x)) é sec(g(x)) tan(g(x)) cdot g'(x). Aqui, g(x) = 3x, então g'(x) = 3. Assim:
v' = sec(3x) tan(3x) cdot 3 = 3 sec(3x) tan(3x)

Passo 4

Agora que temos u' e v', podemos aplicar a regra do quociente que mencionamos no Passo 1. Então, substituímos os valores encontrados:
f'(x) = u'v - uv'v^2
Substituindo:
f'(x) = (e^-2x(1 - 2x))sec(3x) - (x e^-2x)(3 sec(3x) tan(3x))sec^2(3x)

Resposta

Agora, simplificando isso, temos:
f'(x) = e^-2x sec(3x)(1 - 2x) - 3x e^-2x sec(3x) tan(3x)sec^2(3x)
Ou seja, a derivada de f(x) é:
f'(x) = e^-2x (1 - 2x) - 3x tan(3x)sec(3x)
Essa é a nossa resposta final! Se precisar de mais alguma coisa, é só avisar!

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