Seja y=1x^2. Verifique que x d yd x+2 y=0.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função y=1x^2 e precisamos verificar se a equação x d yd x+2 y=0 é verdadeira para essa função. Isso está relacionado ao cálculo de derivadas, que é um conceito básico de cálculo onde calculamos a taxa de variação de uma função. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada de y em relação a x e então substituir na equação.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada de y em relação a x, ou seja, precisamos encontrar $ \frac{d y}{d x}$. A função é d yd x. Para derivar, a regra que usamos é a regra do poder. Essa regra diz que, se temos uma função na forma y = 1x^2, a derivada é x^n. Mas, como temos uma fração n cdot x^n-1, podemos reescrevê-la como (1x^2). Agora, aplicamos a regra do poder:
y = x^-2

Passo 3

Agora que encontramos d yd x, vamos usar isso na equação que queremos verificar: x d yd x + 2y = 0. Primeiro, calculamos x d yd x:
x d yd x = x (-2x^3) = -2x^2
Em seguida, precisamos calcular o valor de 2y. Como sabemos que y=1x^2, temos:
2y = 2 (1x^2) = 2x^2

Passo 4

Agora que temos os dois termos, podemos substituí-los na equação:
-2x^2 + 2x^2 = 0
Isso simplifica para:
0 = 0

Resposta

Portanto, verificamos que a equação x d yd x + 2 y = 0 é verdadeira para a função dada y = 1x^2.

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