A massa total de uma região E \subset \mathbb{R}^{3} com densidade \rho= \rho(x, y, z) é dada pela integral tripla:
m(E)=\iiint_{E} \rho(x, y, z) d V
Qual a massa total da região delimitada pelo cilindro parabólico z=1-x^{2}, pelos planos y=1 e y=-1, acima do plano x y, com densidade \rho(x, y, z)=y^{2} e^{x} ?

Passo 1

O enunciado pede a massa
m(E)=\iiint_{E}\rho(x,y,z)\,dV
da região E\subset\mathbb{R}^3 limitada por
  1. o cilindro parabólico z=1-x^2,
  2. os planos y=-1 e y=1,
  3. o plano z=0 (acima do plano xy),
    com densidade \rho(x,y,z)=y^2e^x. Vamos usar integração iterada em coordenadas cartesianas.

Passo 2

Projetando E no plano xy, vemos que z varia de 0 até 1-x^2 e que a projeção em xy é
-1\le x\le1,\qquad -1\le y\le1.
Logo
m(E) =\int_{y=-1}^{1}\int_{x=-1}^{1}\int_{z=0}^{1-x^2}y^2e^x\,dz\,dx\,dy.

Passo 3

Integramos em z:
\int_{0}^{1-x^2}y^2e^x\,dz =y^2e^x\bigl[(1-x^2)-0\bigr] =y^2e^x\,(1-x^2).
Assim
m(E) =\int_{y=-1}^{1}\int_{x=-1}^{1}y^2e^x(1-x^2)\,dx\,dy.

Passo 4

Separando as integrais em y e x, temos
\int_{y=-1}^{1}y^2\,dy =2\int_{0}^{1}y^2\,dy =2\cdot\frac{1}{3} =\frac{2}{3}.
Logo
m(E) =\frac{2}{3}\int_{x=-1}^{1}e^x(1-x^2)\,dx.

Passo 5

Denote
I=\int_{-1}^{1}e^x(1-x^2)\,dx =\int_{-1}^{1}e^x\,dx \;-\;\int_{-1}^{1}x^2e^x\,dx.
Chamemos I_1=\int_{-1}^{1}e^x\,dx e I_2=\int_{-1}^{1}x^2e^x\,dx.

Passo 6

Calculamos
I_1 =\bigl[e^x\bigr]_{-1}^{1} =e-\frac{1}{e}.
Para I_2, usamos a primitiva
\int x^2e^x\,dx =e^x(x^2-2x+2)+C.
Assim
I_2 =\bigl[e^x(x^2-2x+2)\bigr]_{-1}^{1} =e\,(1-2+2) -\frac{1}{e}\,\bigl(1+2+2\bigr) =e-\frac{5}{e}.

Passo 7

Logo
I =\Bigl(e-\frac{1}{e}\Bigr) -\Bigl(e-\frac{5}{e}\Bigr) =4\,\frac{1}{e} =\frac{4}{e}.
Portanto
m(E) =\frac{2}{3}\,I =\frac{2}{3}\,\frac{4}{e} =\frac{8}{3e}.

Resposta

\displaystyle \frac{8}{3e}

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