A massa total de uma região
com densidade
é dada pela integral tripla:
Qual a massa total da região delimitada pelo cilindro parabólico
, pelos planos
e
, acima do plano
, com densidade
?
Passo 1
O enunciado pede a massa
da região
limitada por
- o cilindro parabólico
, - os planos
e , - o plano
(acima do plano ),
com densidade. Vamos usar integração iterada em coordenadas cartesianas.
Passo 2
Projetando
no plano
, vemos que
varia de
até
e que a projeção em
é
Logo
Passo 3
Integramos em
:
Assim
Passo 4
Separando as integrais em
e
, temos
Logo
Passo 5
Denote
Chamemos
e
.
Passo 6
Calculamos
Para
, usamos a primitiva
Assim
Passo 7
Logo
Portanto