Para uma variável aleatória X que segue uma distribuição uniforme U(a, b), prove que a média de X é dada por mu=a+b2.

Passo 1

Opa! Então, o enunciado pede pra gente provar que, se mu = a + b2 é uma variável aleatória contínua com distribuição uniforme no intervalo , a média (ou valor esperado) dela é
Conteúdo: cálculo de esperança de variáveis contínuas. Para resolver, vamos usar:
  • A definição da função densidade da uniformidade no intervalo .
  • A fórmula de esperança para variáveis contínuas, que envolve integrar vezes a densidade.

Passo 2

Primeiro, qual é a função densidade de probabilidade (pdf) de f(x) = 1b - a, a <= x <= b, ?
Por definição, dentro de a pdf é constante e vale
e zero fora desse intervalo. Isso faz sentido porque a área total sob a curva de densidade tem que ser 1, e a base do “retângulo” é , então a altura é .

Passo 3

Agora, lembra da definição de esperança de uma variável contínua? É
E[X] = integral-infty^infty x,f(x),dx
Como E[X] = integrala^b x ,1b-a,dx fora de , a gente restringe a integral de a . Então:

Passo 4

Vamos calcular essa integral passo a passo. Primeiro, a gente tira o fator constante E[X] = 1b-a integrala^b x ,dx pra fora:
integrala^b x ,dx = l[x^22r]a^b = b^22 - a^22 = b^2 - a^22
A integral de E[X] = 1b-a cdot b^2 - a^22 é . Então:
Substituindo de volta:

Passo 5

Agora simplifica b^2 - a^2b-a = b + a . Lembra que E[X] = 12,(b+a) = a + b2 . Logo:
Então

Resposta

boxedmu = E[X] = a + b2

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