Para uma variável aleatória
que segue uma distribuição uniforme
, prove que a média de
é dada por
.
Passo 1
Opa! Então, o enunciado pede pra gente provar que, se
é uma variável aleatória contínua com distribuição uniforme no intervalo
, a média (ou valor esperado) dela é
Conteúdo: cálculo de esperança de variáveis contínuas. Para resolver, vamos usar:
- A definição da função densidade da uniformidade no intervalo
. - A fórmula de esperança para variáveis contínuas, que envolve integrar
vezes a densidade.
Passo 2
Primeiro, qual é a função densidade de probabilidade (pdf) de
?
Por definição, dentro de a pdf é constante e vale
Por definição, dentro de
e zero fora desse intervalo. Isso faz sentido porque a área total sob a curva de densidade tem que ser 1, e a base do “retângulo” é
, então a altura é
.
Passo 3
Agora, lembra da definição de esperança de uma variável contínua? É
Como
fora de
, a gente restringe a integral de
a
. Então:
Passo 4
Vamos calcular essa integral passo a passo. Primeiro, a gente tira o fator constante
pra fora:
A integral de
é
. Então:
Substituindo de volta:
Passo 5
Agora simplifica
. Lembra que
. Logo:
Então