Derive a função.
14. y=\frac{x+1}{x^{3}+x-2}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = \frac{x+1}{x^{3}+x-2}.
O conteúdo principal é cálculo de derivada de função racional, que exige usar a regra do quociente. Para isso vamos definir o numerador u(x) e o denominador v(x) e calcular suas derivadas.

Passo 2

Definimos
u(x)=x+1, \quad v(x)=x^{3}+x-2.
Então as derivadas são
u'(x)=1, \quad v'(x)=3x^{2}+1.

Passo 3

Pela regra do quociente, a derivada de y=\tfrac{u}{v} é
y' = \frac{u'v - u\,v'}{v^{2}}.

Passo 4

Substituindo u, u', v e v' na fórmula:
u'v = 1 \cdot (x^{3}+x-2) = x^{3}+x-2,
u\,v' = (x+1)\,(3x^{2}+1) = 3x^{3}+3x^{2}+x+1.
Assim o numerador fica
x^{3}+x-2 \;-\;(3x^{3}+3x^{2}+x+1) = -2x^{3}-3x^{2}-3.
Portanto
y' = \frac{-2x^{3}-3x^{2}-3}{\bigl(x^{3}+x-2\bigr)^{2}}.

Resposta

y' = \frac{-2x^{3}-3x^{2}-3}{(x^{3}+x-2)^{2}}.

Exercícios relacionados