Derive a função.
16. y=\frac{t}{(t-1)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = \frac{t}{(t-1)^{2}}.
O conteúdo principal será a regra do produto combinada com a regra da cadeia.

Passo 2

Reescrevemos a função em forma de produto:
y = t\,(t-1)^{-2}.

Passo 3

Aplicamos a regra do produto: para y = u\,v vale
y' = u'\,v + u\,v'.
Aqui escolhemos u = t e v = (t-1)^{-2}. Então
u' = 1, \quad v' = -2\,(t-1)^{-3)\,\cdot 1 = -2\,(t-1)^{-3}.
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y' = 1\cdot (t-1)^{-2} + t\cdot\bigl(-2\,(t-1)^{-3}\bigr) = (t-1)^{-2} - 2t\,(t-1)^{-3}.

Passo 4

Fatoramos (t-1)^{-3} em evidência:
y' = (t-1)^{-3}\bigl((t-1) - 2t\bigr) = (t-1)^{-3}(-t-1) = -\frac{t+1}{(t-1)^{3}}.

Resposta

y' = -\frac{t+1}{(t-1)^{3}}.

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