Derive a função.
14. y=\log _{10} \operatorname{sec} x

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
y = \log_{10}\bigl(\operatorname{sec} x\bigr).
Para isso, vamos usar a regra da derivada de um logaritmo de base a e a derivada de \operatorname{sec} x.

Passo 2

Regra do logaritmo na base a: se
y = \log_{a}(u),
então
y' = \frac{u'}{u\,\ln a}.
Aqui temos a=10 e u=\operatorname{sec} x, logo
y' = \frac{(\operatorname{sec} x)'}{\operatorname{sec} x \,\ln 10}.

Passo 3

Calculamos a derivada de u=\operatorname{sec} x. Sabemos que
\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{sec} x\bigr) = \operatorname{sec} x\tan x.
Substituindo em y' obtém-se
y' = \frac{\operatorname{sec} x\tan x}{\operatorname{sec} x\,\ln 10}.

Passo 4

Simplificando \operatorname{sec} x no numerador e denominador, chega-se a
y' = \frac{\tan x}{\ln 10}.

Resposta

\frac{dy}{dx} = \frac{\tan x}{\ln 10}.

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