Derive a função.
13. y=\log _{8}\left(x^{2}+3 x\right)

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função
y = \log_{8}\bigl(x^{2} + 3x\bigr).
O conteúdo aqui é derivação de logaritmo com base diferente de e. Vamos usar a mudança de base para logaritmo natural e depois aplicar a regra da cadeia.

Passo 2

Reescrevemos \log_{8}(x^{2}+3x) em termos de logaritmo natural:
y = \frac{\ln\bigl(x^{2}+3x\bigr)}{\ln(8)}.
Aqui \ln(8) é uma constante, então basta derivar o numerador e dividir por \ln(8).

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia à função \ln\bigl(x^{2}+3x\bigr), temos
\frac{d}{dx}\ln\bigl(x^{2}+3x\bigr) = \frac{1}{x^{2}+3x}\cdot \frac{d}{dx}\bigl(x^{2}+3x\bigr) = \frac{1}{x^{2}+3x}\cdot(2x+3).

Passo 4

Como y = \frac{1}{\ln(8)}\ln\bigl(x^{2}+3x\bigr), a derivada é
y' = \frac{1}{\ln(8)} \cdot \frac{2x+3}{x^{2}+3x} = \frac{2x+3}{\bigl(x^{2}+3x\bigr)\,\ln(8)}.

Resposta

y' = \frac{2x+3}{\bigl(x^{2}+3x\bigr)\,\ln(8)}.

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