derive a função dada, aplicando os teoremas desta secção.
f(x)=(2 x^4-1)(5 x^3+6 x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=(2x^4-1)(5x^3+6x),
usando os teoremas de derivação desta seção, ou seja, o regra do produto e a regra da potência.

Passo 2

Pela regra do produto, se f(x)=u(x),v(x) então
f'(x)=u'(x),v(x)+u(x),v'(x)
Aqui u(x)=2x^4-1 e v(x)=5x^3+6x.

Passo 3

Derivando u(x)=2x^4-1 pela regra da potência:
u'(x)=2cdot4x^4-1=8x^3

Passo 4

Derivando v(x)=5x^3+6x termoa a termo:
v'(x)=5cdot3x^3-1+6cdot1x^1-1=15x^2+6

Passo 5

Substituindo em
f'(x)=u'(x),v(x)+u(x),v'(x)
temos
f'(x)=8x^3(5x^3+6x)+(2x^4-1)(15x^2+6)

Passo 6

Agora expandimos e somamos termos semelhantes:
8 x^3 cdot 5 x^3 = 40 x^6, 8 x^3 cdot 6 x = 48 x^4, 2 x^4 cdot 15 x^2 = 30 x^6, 2 x^4 cdot 6 = 12 x^4
(-1) cdot 15 x^2 = -15 x^2
(-1) cdot 6 = -6
Portanto,
f'(x) = l(40 x^6 + 30 x^6r) + l(48 x^4 + 12 x^4r) - 15 x^2 - 6 = 70 x^6 + 60 x^4 - 15 x^2 - 6

Resposta

f'(x)=70x^6+60x^4-15x^2-6

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