Calcule o comprimento da curva.
x=3 \cos t-\cos 3 t, y=] 3 \operatorname{sen} t-\operatorname{sen} 3 t, 0 \leqslant t \leqslant \pi

Passo 1

O enunciado nos dá a curva paramétrica
x(t)=3\cos t-\cos3t, \quad y(t)=3\sin t-\sin3t, \quad 0\le t\le\pi
e pede o comprimento dessa curva. O conteúdo necessário é a fórmula do comprimento de curva paramétrica, que diz
L=\int_{a}^{b}\sqrt{\bigl(x'(t)\bigr)^2+\bigl(y'(t)\bigr)^2}\,dt.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas de x e y:
x'(t)=-3\sin t+3\sin3t =3\bigl(\sin3t-\sin t\bigr),
y'(t)=3\cos t-3\cos3t =3\bigl(\cos t-\cos3t\bigr).
Substituindo na fórmula de L, obtemos
\bigl(x'(t)\bigr)^2+\bigl(y'(t)\bigr)^2 =9\Bigl[\bigl(\sin3t-\sin t\bigr)^2+\bigl(\cos t-\cos3t\bigr)^2\Bigr].

Passo 3

Usamos as identidades \sin3t-\sin t=2\cos2t\,\sin t e \cos t-\cos3t=2\sin2t\,\sin t.
Assim,
\bigl(\sin3t-\sin t\bigr)^2+\bigl(\cos t-\cos3t\bigr)^2 =4\sin^2t\bigl(\cos^2 2t+\sin^2 2t\bigr) =4\sin^2t,
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\bigl(x'(t)\bigr)^2+\bigl(y'(t)\bigr)^2 =9\cdot4\sin^2t=36\sin^2t.
Como 0\le t\le\pi tem \sin t\ge0, segue
\sqrt{(x')^2+(y')^2}=6\sin t.

Passo 4

O comprimento é
L=\int_{0}^{\pi}6\sin t\,dt =6\bigl[-\cos t\bigr]_{0}^{\pi} =6\bigl[(-\cos\pi)-(-\cos0)\bigr] =6\bigl[(-(-1))-(-1)\bigr] =6(1+1)=12.

Resposta

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