Derive a função f(x)=(ln x)^x x^ln x :
Escolha uma opção:
f^prime(x)=(x^x-ln x)(1ln x+ln (ln x)-ln xx)

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função f(x) = (ln x)^x ; x^ln x. O conteúdo usado aqui é diferenciação de funções definidas por produtos e expoentes variáveis, e vamos precisar aplicar logaritmo na função (log‐diferenciação) para simplificar a derivada.

Passo 2

Tomamos logaritmo de f para usar log‐diferenciação. Definimos u(x) = ln f(x) = lnl((ln x)^xr) + lnl(x^ln xr)

Passo 3

Rewrite cada termo de u(x): u(x) = xln(ln x) + (ln x)cdotln x = xln(ln x) + (ln x)^2

Passo 4

Derivamos u(x). Para xln(ln x) usamos regra do produto e cadeia: ddxl[xln(ln x)r] = 1cdotln(ln x) + xcdot1ln xcdot1x = ln(ln x) + 1ln xPara (ln x)^2 usamos cadeia: ddx(ln x)^2 = 2ln x cdot 1x = 2ln xxSomando, u'(x)=ln(ln x)+1ln x+2ln xx

Passo 5

Como f'(x)=f(x),u'(x), concluímos: f'(x) = (ln x)^x,x^ln xl(ln(ln x)+1ln x+2ln xxr)

Resposta

f’(x) = (\ln x)x,x{\ln x}\Bigl(\ln(\ln x)+\tfrac{1}{\ln x}+\tfrac{2\ln x}{x}\Bigr).

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