Considere a função se f(x, y)=rx^4-y^4x^2+y^2, 1, se (x, y) neq(0,0) 1,.
(x, y)=(0,0) é diferenciável no ponto f ? Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a função $ f(x, y) $ é diferenciável no ponto f(x, y) . Vamos trabalhar com cálculo multivariável, mais especificamente com conceitos de continuidade e diferenciabilidade de funções de duas variáveis. Para resolver isso, precisamos entender como a função se comporta perto desse ponto e se ela se comporta de forma “suave” suficiente para ser diferenciável ali.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função é contínua no ponto (0,0), porque se não for contínua, já podemos dizer que ela não é diferenciável. A continuidade no ponto (0,0) significa que o limite de $ f(x, y) $ conforme f(x, y) se aproxima de (x, y) deve ser igual ao valor da função nesse ponto, ou seja, 1.

Passo 3

Para calcular o limite, vamos usar coordenadas polares, que facilitam a análise de limites em duas variáveis. Substituindo $ x = r \cos\theta $ e $ y = r \sin\theta $, onde $ r $ é a distância até a origem e $ \theta $ é o ângulo.
A função fica:
x = r costheta

Passo 4

Agora, vamos analisar o limite de $ f(r, \theta) $ conforme $ r $ tende a 0:
f(r, theta)
Isso porque $ r^2 $ tende a 0 e $ (\cos^4\theta - \sin^4\theta) $ é limitado.

Passo 5

Observamos que:
lim(x, y) to (0,0) f(x, y) = 0
Mas, pelo enunciado, $ f(0,0) = 1 $. Como o limite quando f(0,0) = 1 se aproxima de (x, y) é diferente do valor da função nesse ponto, a função $ f $ não é contínua em (0,0).

Passo 6

Como a função não é contínua em (0,0), ela não pode ser diferenciável nesse ponto. Diferençabilidade implica continuidade, então já que a continuidade falha, a diferenciabilidade também não é satisfeita.

Resposta

A função $ f $ não é diferenciável no ponto f porque não é contínua nesse ponto.

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