Considere a função se
.
é diferenciável no ponto
? Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a função $ f(x, y) $ é diferenciável no ponto
. Vamos trabalhar com cálculo multivariável, mais especificamente com conceitos de continuidade e diferenciabilidade de funções de duas variáveis. Para resolver isso, precisamos entender como a função se comporta perto desse ponto e se ela se comporta de forma “suave” suficiente para ser diferenciável ali.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função é contínua no ponto
, porque se não for contínua, já podemos dizer que ela não é diferenciável. A continuidade no ponto
significa que o limite de $ f(x, y) $ conforme
se aproxima de
deve ser igual ao valor da função nesse ponto, ou seja, 1.
Passo 3
Para calcular o limite, vamos usar coordenadas polares, que facilitam a análise de limites em duas variáveis. Substituindo $ x = r \cos\theta $ e $ y = r \sin\theta $, onde $ r $ é a distância até a origem e $ \theta $ é o ângulo.
A função fica:
Passo 4
Agora, vamos analisar o limite de $ f(r, \theta) $ conforme $ r $ tende a 0:
Isso porque $ r^2 $ tende a 0 e $ (\cos^4\theta - \sin^4\theta) $ é limitado.
Passo 5
Observamos que:
Mas, pelo enunciado, $ f(0,0) = 1 $. Como o limite quando
se aproxima de
é diferente do valor da função nesse ponto, a função $ f $ não é contínua em
.
Passo 6
Como a função não é contínua em
, ela não pode ser diferenciável nesse ponto. Diferençabilidade implica continuidade, então já que a continuidade falha, a diferenciabilidade também não é satisfeita.
Resposta
A função $ f $ não é diferenciável no ponto
porque não é contínua nesse ponto.